Diferença entre os idiomas aceitos por dois DFAs com diferentes estados iniciais / estados de aceitação?

Recentemente, fiz uma pergunta no Math SE. Nenhuma resposta ainda. Esta questão está relacionada a essa pergunta, mas mais detalhes técnicos sobre ciência da computação.

Dado dois DFAs e que o conjunto de estados, o alfabeto de entrada e a função de transição de e são iguais, os estados iniciais e os estados finais (de aceitação) podem ser diferentes. Seja e os idiomas aceitos por e , respectivamente.B = ( Q , Σ , δ , q 2 , F 2$A = (Q, \Sigma, \delta, q_1, F_1)$$B = (Q, \Sigma, \delta, q_2, F_2)$B L 1 L 2 A $A$$B$$L_1$$L_2$$A$$B$

Existem quatro casos:

1. $q_1 = q_2$ e .$F_1 = F_2$
2. $q_1 \neq q_2$ e .$F_1 = F_2$
3. $q_1 = q_2$ e .$F_1 \neq F_2$
4. $q_1 \neq q_2$ e .$F_1 \neq F_2$

Minha pergunta é

Quais são as diferenças entre e nos casos 2, 3 e 4?L $L_1$$L_2$

Eu tenho uma pergunta mais específica nessa linha,

O monóide de transição de um autômato é o conjunto de todas as funções no conjunto de estados induzido por seqüências de entrada. Veja a página para mais detalhes. O monóide de transição pode ser considerado como um monóide atuando no conjunto de estados. Veja esta página do Wiki para mais detalhes.

Em muitas literaturas, um autômato é chamado fortemente conectado quando a ação monóide é transitiva, ou seja, sempre há pelo menos uma transição (sequência de entrada) de um estado para outro.

Se e B são autômatos fortemente conectados, quais são as diferenças entre L 1 e L 2 nos casos 2, 3 e 4 acima?$A$$B$$L_1$$L_2$

Alguma literatura discutindo essas questões em detalhes?

Pesquisei muitos livros e artigos e não encontrei nada útil até agora. Acredito que ainda não tenho as palavras-chave apropriadas. Assim, estou procurando ajuda. Quaisquer indicações / referências serão muito apreciadas.

Como estão fortemente conectados, então, se q 1 ≠ q 2 , existem palavras p 1 , p 2 de modo que δ ( q 1 , p 1 ) = q 2 e δ ( q 2 , p 2 ) = q 1 .$A,B$$q_1\neq q_2$$p_1,p_2$$\delta(q_1,p_1)=q_2$$\delta(q_2,p_2)=q_1$

Considere o caso 2, então sse p 2 w ∈ L ( B ) , e x ∈ L ( B ) sse p 1 x ∈ L ( A ) . Então você pode adicionar um prefixo para alternar entre idiomas.$w\in L(A)$$p_2w\in L(B)$$x\in L(B)$$p_1 x\in L(A)$

Considere o caso 3 e, em seguida, novamente - por forte conectividade, no máximo palavras s 1 , . . . , s k tal que para cada q i ∈ F 1 você tenha aquele δ ( q i , s i ) ∈ F 2 e da mesma forma para a outra direção (de B para A ).$|F_1|$$s_1,...,s_k$$q_i\in F_1$$\delta(q_i,s_i)\in F_2$$B$$A$

Assim, você pode compor sufixos para alternar entre idiomas.

Combinando isso, você pode caracterizar as diferenças usando prefixos e sufixos. Por exemplo, no caso 4, sse p 1 w s i na G ( A ) para alguns s i em um conjunto finito predeterminado.$w\in L(B)$$p_1 w s_i$$L(A)$$s_i$

De fato, você pode até dizer algo interessante sobre essas palavras: defina como DFA, onde q 1 é o estado inicial e q 2 é o estado final; no caso 2, você tem L ( B ) = L ( C ) ⋅ L ( A ) (e da mesma forma para a outra direção).$C$$q_1$$q_2$$L(B)=L(C)\cdot L(A)$

Quanto aos sufixos, as coisas estão mais envolvidas, pois você não pode predeterminar em qual estado final você terminará. Não tenho certeza se você pode escrever isso como uma concatenação, mas você pode escrever onde A q é o DFA obtido de A estar definindo F = { q } e E q é um DFA que começa em q com os estados finais F 2 .$L(B)=\bigcup_{q\in F_1}L(A_q)\cdot L(E_q)$$A_q$$A$$F=\{q\}$$E_q$$q$$F_2$

Para o caso 4, você pode combinar os dois.

Você pode estar preocupado com o fato de que essa não é uma resposta real, mas apenas uma caracterização de propriedades usando palavras em vez de estados, mas essa é uma resposta típica nesse campo (semelhante ao teorema de Myhill-Nerode).