Como abordar o desafio Vertical Sticks

Esse problema foi retirado de Interviewstreet.com

É-nos dada uma matriz de números inteiros que representa segmentos de linha, de modo que os pontos finais do segmento sejam e . Imagine que, do topo de cada segmento, um raio horizontal é disparado para a esquerda, e esse raio para quando toca outro segmento ou atinge o eixo y. Construímos uma matriz de n números inteiros, , em que é igual ao comprimento do raio disparado da parte superior do segmento . Definimos .$Y=\{y_1,...,y_n\}$$n$$i$$(i, 0)$$(i, y_i)$$v_1, ..., v_n$$v_i$$i$$V(y_1, ..., y_n) = v_1 + ... + v_n$

Por exemplo, se tivermos , então , como mostra a figura abaixo:$Y=[3,2,5,3,3,4,1,2]$$[v_1, ..., v_8] = [1,1,3,1,1,3,1,2]$

Para cada permutação de , podemos calcular . Se escolhermos uma permutação aleatória uniformemente de , qual é o valor esperado de ?$p$$[1,...,n]$$V(y_{p_1}, ..., y_{p_n})$$p$$[1,...,n]$$V(y_{p_1}, ..., y_{p_n})$

Se resolvermos esse problema usando a abordagem ingênua, ele não será eficiente e será executado praticamente para sempre por . Acredito que podemos abordar esse problema calculando de forma independente o valor esperado de para cada stick, mas ainda preciso saber se existe outra abordagem eficiente para esse problema. Em que base podemos calcular o valor esperado para cada stick independentemente?$n=50$$v_i$

Imagine um problema diferente: se você tivesse que colocar sticks de alturas iguais em slots, a distância esperada entre os sticks (e a distância esperada entre o primeiro stick e um slot nocional e a distância esperada entre o último stick e um nocional o slot ) é pois existem intervalos para caber no comprimento .$k$$n$$0$$n+1$$\frac{n+1}{k+1}$$k+1$$n+1$

Voltando a esse problema, um determinado stick está interessado em quantos (inclusive ele) são tão altos ou mais altos. Se esse número for , o intervalo esperado à esquerda também será n + $k$ .$\frac{n+1}{k+1}$

Portanto, o algoritmo é simplesmente encontrar esse valor para cada stick e adicionar a expectativa. Por exemplo, começando com alturas de , o número de paus com altura maior ou igual a é [ 5 , 7 , 1 , 5 , 5 , 2 , 8 , 7 ] então a expectativa é $[3,2,5,3,3,4,1,2]$$[5,7,1,5,5,2,8,7]$.$\frac96+\frac98+\frac92+\frac96+\frac96+\frac93+\frac99+\frac98 = 15.25$

É fácil de programar: por exemplo, uma única linha em R

V <- function(Y){ (length(Y) + 1) * sum( 1 / (rowSums(outer(Y, Y, "<=")) + 1) ) }

fornece os valores na saída de amostra no problema original

> V(c(1,2,3))
[1] 4.333333
> V(c(3,3,3))
[1] 3
> V(c(2,2,3))
[1] 4
> V(c(10,2,4,4))
[1] 6
> V(c(10,10,10,5,10))
[1] 5.8
> V(c(1,2,3,4,5,6))
[1] 11.15

A solução de Henry é mais simples e mais geral que esta!

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$E[V]$

$E[Y]$

$i\le j$$X_{ij} = 1$$Y_j = \max\{Y_i,...,Y_j\}$$X_{ij}=0$$Y$$X_{ij}=1$$Y_j$$\{Y_i, \dots, Y_{j-1}\}$

Então, para qualquer índice , temos (Você vê por quê?) E, portanto, $j$$v_j = \sum_{i=1}^j X_{ij}$

$$V = \sum_{j=1}^n v_j = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^j X_{ij}.$$

A linearidade da expectativa implica imediatamente que

$$E[V] = E\bigg[\sum_{1\le i\le j\le n} X_{ij}\bigg] = \sum_{1\le i\le j\le n} E[X_{ij}].$$

Como é ou , temos .$X_{ij}$$0$$1$$E[X_{ij}] = \Pr[X_{ij}=1]$

Finalmente - e este é o bit importante - porque os valores em são distintos e permutados de maneira uniforme, cada elemento do subconjunto é igualmente provável que seja o maior elemento desse subconjunto. Assim, . (Se os elementos de não forem distintos, ainda temos .)$Y$$\{Y_i,...,Y_j\}$$\Pr[X_{ij}=1] = \frac{1}{j-i+1}$$Y$$\Pr[X_{ij}=1] \le \frac{1}{j-i+1}$

E agora só temos um pouco de matemática. onde indica o th número harmónico .

$$\begin{aligned} E[V] &= \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^j E[X_{ij}] & [\text{linearity}]\\ &= \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^j \frac{1}{j-i+1} & [\text{uniformity}]\\ &= \sum_{j=1}^n \sum_{h=1}^j \frac{1}{h} & [h = j-i+1]\\ &= \sum_{h=1}^n \sum_{j=h}^n \frac{1}{h} & [1\le h\le j\le n]\\ &= \sum_{h=1}^n \frac{n-h+1}{h}\\ &= \left((n+1)\sum_{h=1}^n \frac{1}{h}\right) - \left(\sum_{h=1}^n 1\right)\\ &= (n+1)H_n - n \end{aligned}$$ $H_n$$n$

Agora deve ser trivial calcular (até precisão de ponto flutuante) em tempo.$E[V]$$O(n)$

Conforme mencionado nos comentários, você pode usar a Linearidade da Expectativa.

Classifique : .$y$$y_1 \le y_2 \le \dots \le y_n$

Para cada considere o valor esperado de .$y_i$$v_i = E[v_i]$

Então$E[\sum_{i=1}^{n} v_i] = \sum_{i=1}^{n} E[v_i]$

Uma maneira direta e ingênua de calcular seria primeiro fixar uma posição para . Diga .$E[v_i]$$y_i$$j$

Agora calcule a probabilidade de que na posição você tenha um valor .$j-1$$\ge y_i$

Então a probabilidade de que em você tenha um valor e em você tenha um valor$j-1$$\lt y_i$$j-2$$\ge y_i$

e assim por diante, o que permitirá calcular .$E[v_i]$

Você provavelmente pode torná-lo mais rápido, efetivamente, fazendo as contas e obtendo uma fórmula (embora eu ainda não tenha tentado).

Espero que ajude.

Expandindo a resposta de @Aryabhata:

Corrija um e assuma que o item está na posição . O valor exato da altura é imaterial, o que importa é se os itens são maiores ou iguais a ou não. Portanto, considere o conjunto de itens , onde é 1 se e é 0 caso contrário.$i$$y_i$$j$$y_i$$Z^{(i)}$$z_k^{(i)}$$y_k\geq y_i$$z_k^{(i)}$

Uma permutao no conjunto induz uma permutação correspondente sobre o conjunto de . Considere, por exemplo, a seguinte permeação do conjunto : "01000 (1) ". O item é aquele que está entre colchetes, na posição , e os itens indicados por " " não importam.$Z^{(i)}$$Y$$Z^{(i)}$$\dots$$z_i^{(i)}$$j$$\dots$

O valor de é então 1 mais o comprimento da execução dos zeros consectivos à esquerda de . Segue-se que é na verdade 1 mais o comprimento esperado de zeores consecutivos, até que o primeiro "1" seja atingido, se escolhermos no máximo bits do conjunto (sem substituição). Isso é remanescente da distribuição geométrica, exceto que ela seria sem substituição (e número limitado de empates). A expectativa é para ser tomada em assim , como uma escolha uniforme sobre o conjunto de posições .$v_i$$z_i^{(i)}$$\mathbb{E}\left(v_i\right)$$j-1$$Z^{(i)} \setminus \\{z_i^{(i)} \\}$$j$ $\{1,\dots,n \}$

Uma vez calculado (nesse sentido ), podemos seguir as linhas da resposta de @ Aryabhata.

Eu realmente não entendo o que você ignora, a partir de tags, parece que você está procurando um algoritmo.

Nesse caso, qual é a complexidade de tempo esperada? dizendo: "Se resolvermos esse problema usando a abordagem ingênua, ele não será eficiente e será executado praticamente para sempre por n = 50". parece-me que sua abordagem ingênua a resolve em tempo exponencial.

Eu tenho um algoritmo O (n ^ 2) em mente tho.

assume int y[n], v[n] where v[i] initialized with 1; as described in the question
for (i=1;i<n;i++) 
   for ( j=i-1 ; j>=0 && y[j]<y[i] ; j--) v[i]++;