Linguagem livre de estrela vs. linguagem regular

Fiquei me perguntando, vez que é um idioma sem estrelas, existe um idioma regular que não é um idioma sem estrelas? Você poderia dar um exemplo?$a^*$

(de wikipdia ) Lawson define idiomas sem estrelas como:

Diz-se que uma linguagem comum é livre de estrelas se puder ser descrita por uma expressão regular construída a partir das letras do alfabeto, o símbolo de conjunto vazio, todos os operadores booleanos - incluindo complementação - e concatenação, mas nenhuma estrela Kleene.

Aqui está a prova de estrelas:$a^*$

$\emptyset$⟹ Σ * = ˉ ∅ ⟹ Um ⊆ Σ Σ * Um Σ * ⟹ Um ⊆ Σ Um * = ¯ Σ * ( Σ ∖ A ) Σ * está sem estrelas está sem estrelas Se então está sem estrelas Se então está livre de estrelas$\Longrightarrow$
$\Sigma^*=\bar{\emptyset}$$\Longrightarrow$
$A\subseteq\Sigma$$\Sigma^*A\Sigma^*$$\Longrightarrow$
$A\subseteq\Sigma$$A^*=\overline{\Sigma^*(\Sigma \setminus A)\Sigma^*}$

Na última linha, temos , porque qualquer palavra que não seja da forma contém uma letra em e vice versa.$A^*=\overline{\Sigma^*(\Sigma \setminus A)\Sigma^*}$$A^*$$\Sigma \setminus A$

Linguagens regulares são aquelas que podem ser descritas pela lógica monádica fraca de segunda ordem (WMSO) [1].

Linguagens sem estrelas são aquelas que podem ser descritas pela lógica de primeira ordem com$<$ (FO [<]) [2].

As duas lógicas não são igualmente poderosas. Um exemplo para um idioma que pode ser definido por WMSO, mas não definido por FO [<] é (que é claramente regular³); isso pode ser mostrado usando os jogos Ehrenfeucht-Fraissé ⁴.$(aa)^*$

1. Aritmética de segunda ordem fraca e autômatos finitos de Büchi (1960)
2. Autômatos contra-livres de McNaughton e Papert (1971)

3. Uma fórmula WMSO para é$(aa)^*$

   $\ \begin{align} \bigl[ \forall x. P_a(x)\bigr] \land \Bigl[ \exists x. P_a(x) \to \bigl[ \exists X. X(0) &\land [\forall x,y. X(x) \land \operatorname{suc}(x,y) \to \lnot X(y)] \\ &\land [\forall x,y. \lnot X(x) \land \operatorname{suc}(x,y) \to X(y)] \\ &\land [\forall x. \operatorname{last}(x) \to \lnot X(x)] \bigr] \Bigr] \;. \end{align}$

   (Se a palavra não estiver vazia, será o conjunto de todos os índices pares.)$X$

4. Veja também aqui .

Schützenberger (1965) deu uma caracterização algébrica das línguas livres de estrelas: uma linguagem regular é livre de estrelas se e somente se seu monóide sintático for aperiódico. Ao contrário da caracterização lógica (sem estrelas = FO [<]), essa caracterização algébrica fornece um algoritmo para decidir se uma determinada linguagem regular é livre de estrelas (a linguagem regular pode ser dada por um autômato finito, uma expressão regular ou um gramática regular). Usando a caracterização lógica (devido a McNaughton e Papert), pode-se decidir o seguinte problema: dada uma fórmula WMSO, existe uma fórmula FO descrevendo o mesmo idioma?

M.-P. Schützenberger, Em monóides finitos com apenas subgrupos triviais, Information and Control 8 (1965), 190-194.

R. ~ McNaughton e S. ~ Papert, autômatos contra-livres, The MIT Press, Cambridge, Mass.-London, 1971.

Uma prova completa do teorema de Schützenberger pode ser encontrada em vários livros ou documentos de pesquisa. Para uma apresentação elementar do algoritmo correspondente (sem uma prova), consulte

J.-É. Pin, semigrupos finitos e línguas reconhecíveis: uma introdução nos Semigrupos do Instituto de Estudo Avançado da OTAN, idiomas e grupos formais , J. Fountain (éd.), 1-32, editores acadêmicos Kluwer, (1995).

Os idiomas livres de estrela são descritos por expressões regulares que incluem concatenação, complementação, união, interseção, mas nenhuma estrela Kleene.

Como os idiomas regulares são fechados em todas essas operações (onde a complementação é o ponto crucial), todos os idiomas sem estrelas também são regulares.

Talvez você queira dizer o contrário? Todos os idiomas regulares não têm estrelas? A resposta para o último é não. Veja este documento para detalhes.

Um exemplo simples de separação é (aa) *. Mais sofisticado: todas as cadeias binárias com paridade par (ou ímpar).