Prova de contradição para a desigualdade de P e NP?

Estou tentando argumentar que N não é igual a NP usando teoremas de hierarquia. Esse é o meu argumento, mas quando mostrei ao nosso professor e, após dedução, ele disse que isso é problemático, onde não consigo encontrar uma razão convincente para aceitar.

Começamos assumindo que $P=NP$ . Então, produz $\mathit{SAT} \in P$ que por sua vez segue a $\mathit{SAT} \in TIME(n^k)$ . Como stands, somos capazes de fazer reduzir todas as línguas $NP$ a $\mathit{SAT}$ . Portanto, $NP \subseteq TIME(n^k)$ . Pelo contrário, o teorema da hierarquia do tempo afirma que deveria haver uma linguagem $A \in TIME(n^{k+1})$ , isso não está em $TIME(n^k)$ . Isso nos levaria a concluir que $A$ está em $P$ , enquanto não estiver em $NP$ , que é uma contradição para a nossa primeira suposição. Assim, chegamos à conclusão de que $P \neq NP$ .

Existe algo errado com a minha prova?

complexity-theory time-complexity p-vs-np

— inverted_index
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Por favor, escreva algo como em $\mathit{SAT}$ vez de $SAT$ . Como Leslie Lamport escreveu em seu livro original do LaTeX, este último representa S times A times T.

— Oliphaunt - restabelece Monica

Melhor ainda, use o complexitypacote e simplesmente escreva \SAT. (Eu acho que isso não está disponível nessa pilha, no entanto).

— Oliphaunt - reinstala Monica em 25/04/19

@ Oliphaunt Por que não sugerir uma edição quando você pode melhorar a postagem? Embora eu deva dizer que aqui a diferença (se houver) é muito mais sutil do que eu esperava.

— Lagarto discreto

@ Discretelizard Costumo fazer isso, mas dessa vez foi "muito trabalho" (eu estava / estou no celular). Digitar todos esses $ e \ é um trabalho complicado. Eu escolhi educar. (Essa decisão pode não ter sido inteiramente racional.) #

— Oliphaunt - restabelece Monica

Respostas:

Então, produz $SAT \in P$ que por sua vez segue a $SAT \in TIME(n^k)$ .

Certo.

Como stands, somos capazes de fazer reduzir todas as línguas $NP$ a $SAT$ . Portanto, $NP \subseteq TIME(n^k)$ .

Não. As reduções de tempo polinomiais não são gratuitas. Podemos dizer que leva $O(n^{r(L)})$ tempo para reduzir a linguagem $L$ para $SAT$ , onde $r(L)$ é o expoente na redução de tempo polinomial usada. É aqui que seu argumento se desfaz. Não existe um $k$ finito que, para todo $L \in NP$ , tenhamos $r(L) < k$ . Pelo menos isso não segue de $P = NP$ e seria uma afirmação muito mais forte.

E esta afirmação mais forte faz de fato conflito com o teorema de hierarquia de tempo, que nos diz que $P$ não pode entrar em colapso em $TIME(n^k)$ , muito menos todos $NP$ .

— orlp
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Não é apenas a hora da redução em si. Você pode reduzir a um problema maior. Se eu puder resolver X em O (n ^ 5) e reduzir um problema em Y em O (n ^ 6) para uma instância de tamanho O (n ^ 3) de X, preciso de O (n ^ 15) no total.

— precisa saber é o seguinte

Divertidamente, esse argumento se aplica também a problemas com PTIME, por exemplo, HORNSAT, que é solucionável em tempo linear (mas nem todos os problemas em P são tempo linear).

— Cody

Suponha que $\mathrm{3SAT}\in\mathrm{NTIME}[n^k]$ . Pela versão não determinística do teorema da hierarquia de tempo, para qualquer $r$ , existe um problema $X_r\in\mathrm{NTIME}[n^r]$ que não está em $\mathrm{NTIME}[n^{r-1}]$ . Este é um resultado incondicional que não depende de nenhum tipo de suposição, como $\mathrm{P}\neq\mathrm{NP}$

Escolha qualquer $r>k$ . Suponha que tenhamos uma redução determinística de $X_r$ para $\mathrm{3SAT}$ que é executada no tempo $n^t$ . Ele produz uma instância de $\mathrm{3SAT}$ de tamanho no máximo $n^t$ , que pode ser resolvida no tempo no máximo $(n^t)^k=n^{tk}$ . Pela nossa escolha de $X_r$ , devemos ter $tk>r-1$ , então $t>(r+1)/k$ . Esta função cresce sem delimitar com $r$ .

Isto significa que não há nenhum limite de quanto tempo ele pode levar a uma redução arbitrária $\mathrm{NP}$ problema para $\mathrm{3SAT}$ . Mesmo se $\mathrm{3SAT}\in \mathrm{P}$ , ainda não há limite de quanto tempo essas reduções podem levar. Assim, em particular, mesmo que $\mathrm{3SAT}\in\mathrm{DTIME}[n^{k'}]$ por alguns $k'$ , não podemos concluir que $\mathrm{NP}\subseteq\mathrm{DTIME}[n^{k'}]$ , ou mesmo $\mathrm{NP}\subseteq\mathrm{DTIME}[n^{k''}]$ $k''>k'$

— David Richerby
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