Planejamento de tarefas com um problema de gargalo

Dado $n$ trabalhos $J_1,J_2,...,J_n$ , cada trabalho exige $T_i > 0, T_i \in N$ tempo para completar.

Cada trabalho deve ser pré-processado e pós-processado por uma única máquina M que pode lidar com apenas 1 trabalho por vez e as duas fases requerem 1 unidade de tempo. Depois de ser pré-processados, trabalho $J_i$ é enviado para uma máquina com poder ilimitado (que pode lidar em paralelo um número ilimitado de postos de trabalho) e ele vai estar pronto a tempo $T_i$ , então ele deve ser enviado ( imediatamente ) a máquina M novamente para pós-processamento.

O problema de decisão associado é:

Entrada: O processamento tempos de N postos de trabalho, um inteiro K ≥ 2 N Pergunta: podemos processar todos os postos de trabalho em tempo ≤ $T_i >0, T_i \in \mathbb{N}$$N$$K\geq 2N$
$\leq K$ usando o modelo acima "gargalo"?

Esse problema tem um nome?
Qual é a sua complexidade? (está em ou está em N $\sf{P}$$\sf{NP}$ cheio de ?)

ATUALIZAÇÃO 29 de março:
Como percebido corretamente por M.Cafaro em sua resposta, o problema é semelhante ao Problema de tempo mínimo sem restrição (UMFT) (consulte o Capítulo 17 do Manual de programação de algoritmos ), que é duro (comprovado em W. Kern e W. Nawijn, "Planejando trabalhos de multi-operação com tempo atrasado em uma única máquina", University of Twente, 1993). Como posso ver, existem algumas diferenças, porque no meu modelo:$\sf{NP}$

• o tempo de pré / pós-processamento é constante (1 unidade de tempo)
• assim que o trabalho for concluído, ele deverá ser imediatamente pós-processado (o modelo UMFT permite atrasos)

Não encontrei a prova de Kern & Nawijn on-line, então ainda não sei se as restrições acima alteram a dificuldade do problema.

Finalmente, você pode pensar em todo o processo como um único robô de cozinha com um grande forno; o robô pode preparar diferentes tipos de alimentos, um de cada vez (todos exigem o mesmo tempo de preparação), colocá-los no forno e, assim que estiverem cozidos, deve removê-los do forno e adicionar alguns ingredientes frios ... o " problema do robô de cozinha " :-)

A questão é comprovada como NP-difícil em "Minimizar o tempo de fabricação em uma oficina de fluxo de duas máquinas com atrasos e operações de unidade de tempo é NP-difícil" por W. Yu, H. Hoogeveen e JK Lenstra (2004). Isso é comprovado na seção 9 do artigo:

Teorema 24. O problema de minimizar o makepan em uma única máquina com duas operações de tempo unitário por tarefa com atrasos intermediários arbitrários é muito difícil para NP.

O modelo exato estudado aqui é que o trabalho consiste em duas operações que levam tempo unitário separado por algum tempo de atraso T $i$$T_i$ . O problema é fortemente NP-completos tanto quando o valor exato do atraso é especificado para cada trabalho, e quando algum tempo atraso mínimo é especificado para cada trabalho.$T_i$

Parece o chamado modelo de programação mestre-escravo introduzido por Sahni . Em particular, seu problema se enquadra nos sistemas mestre-escravo de mestre único. Você pode distinguir vários casos:

1) Se você não adicionar nenhuma restrição adicional à ordem de execução da tarefa (como no seu caso), o problema será chamado de problema de tempo mínimo de término irrestrito (UMFT) e tem sido demonstrado ser NP-hard;

2) Mesmas ordens de pré e pós-processamento: é possível projetar um algoritmo para construir uma ordem, preservando o tempo mínimo de acabamento$O(n \log n)$ (OPMFT);

Portanto, no caso 1, seu problema é duro, enquanto estiver em$NP$$P$

Problemas relacionados adicionais são:

3) Pós-processamento de ordem inversa: para qualquer permutação de pré-processamento, , é possível construir um cronograma de ordem inversa, conhecido como cronograma canônico de ordem inversa (CROS). Dada uma permutação de pré-processamento $σ$$σ$ , o CROS correspondente é único. É fácil estabelecer que todo cronograma mínimo de ordem inversa de término no tempo (ROMFT) é um CROS.

4) restrição no-wait-in-process:

a) [MFTNW] Minimize o tempo de conclusão, sujeito à restrição de não espera no processo; b) [OP-MFTNW] Esta é a versão de preservação de ordem do MFTNW. Ou seja, minimize o tempo de acabamento, sujeito às restrições de não espera no processo e de preservação da ordem; c) [RO-MFTNW] Minimize o tempo de término, sujeito às restrições de não espera no processo e ordem inversa.

$a$$b$$c$ admite uma solução em tempo polinomial.

Detalhes adicionais no Manual de Agendamento , capítulo 17.