O cálculo SK2 é uma base completa, onde K2 é o combinador K invertido?

Especificamente, se eu definisse um novo $K_2$ como

Meu palpite é "não", apenas porque parece que não consigo construir o combinador K regular a partir de $S$ , $I$ e $K_2$ combinadores, mas eu não tenho um algoritmo de seguir, nem tenho boa intuição sobre como fazer coisas com esses combinadores.

Parece que você pode definir

Minha tentativa de provar que ela não estava funcionalmente completa tentou essencialmente construir exaustivamente todas as funções possíveis desses combinadores, a fim de mostrar que você alcança um beco sem saída (uma função que você já viu antes), independentemente dos combinadores que você usa. Sei que isso não é necessariamente verdade para conjuntos de combinadores funcionalmente incompletos (por exemplo, o combinador $K$ por si só nunca terá um beco sem saída quando aplicado a si mesmo), mas esse foi o meu melhor pensamento. Eu sempre fui capaz de usar o combinador $S$ para escapar do que eu pensava ser finalmente um beco sem saída, então não tenho mais tanta certeza da viabilidade dessa abordagem.

Eu fiz esta pergunta no StackOverflow mas fui encorajado a publicá-la aqui. Recebi alguns comentários sobre esse post, mas não tenho certeza se os entendi direito.

Bônus: se não for uma base completa, o idioma resultante ainda é Turing completo?

Considere os termos do cálculo $S,K_2,I$ como árvores (com nós binários representando aplicativos e folhas $S, K_2$ representando os combinadores.

Por exemplo, o termo $S(SS)K_2$ seria representado pela árvore

        @
       / \
      /   \
     @    K2
    / \
   /   \
  S     @
       / \
      /   \
     S     S

$T$@$K_2$

$S, K_2, I$

         @                           @
        / \                         / \
       /   \                       /   \
      @     g    [reduces to]     @     @
     / \                         / \   / \
    /   \                       e   g f   g
   @     f                 
  / \
 /   \
S     e

      @
     / \
    /   \
   @     f    [reduces to]   f
  / \
 /   \
K2    e

$T$$T'$$T$$T'$$T$$S, K_2, I$$TK_2S$$K_2$$KK_2S$$K_2$$K$$S,K_2, I$

$S,K_2,I$

$A,B,C$

• $K: A \rightarrow B \rightarrow A$
• $K_2: A \rightarrow B \rightarrow B$
• $S: (A \rightarrow B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow C)$
• $I: A \rightarrow A$

$K$$I,S,K_2$$A \rightarrow B \rightarrow B, (A \rightarrow B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow C), A \rightarrow A$$A$$A \rightarrow B$$B$$A \rightarrow B \rightarrow A$

t,f,u$\rightarrow$$A \rightarrow B \rightarrow B$$(A \rightarrow B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow B) \rightarrow (A \rightarrow C)$$A \rightarrow A$t

A B | A -> B
t t | t
t f | f
f t | t
f f | t
t u | f
f u | t
u t | t
u f | f
u u | t

$K_2, S, I$tt$A \rightarrow B \rightarrow A$fu$A$t$B$$S, K_2, I$