Existem várias anotações , como ou e assim por diante. Fiquei me perguntando, se existem variações daquelas na realidade, como ou , ou se são matematicamente incorretas.$O$$O(n)$$O(n^2)$$O(2n^2)$$O(\log n^2)$

Ou seria correto dizer que é possível melhorar um para um O (3n ^ 2) ? Ainda não posso e não preciso descobrir tempos de execução e não preciso melhorar nada, mas preciso saber se é assim que você descreve suas funções na realidade.$O(5n^2)$$O(3n^2)$

Fiquei imaginando se existem variações daquelas na realidade, como ou , ou se são matematicamente incorretas.$O(2n^2)$$O(\log (n^2))$

Sim, ou são variações válidas.$O(2n^2)$$O(\log (n^2))$

No entanto, você os verá raramente, se realmente os vir, principalmente nos resultados finais. A razão é que é . Da mesma forma, é . Isso pode ser surpreendente para iniciantes. No entanto, essas igualdades são mais ou menos a própria razão pela qual grandes anotações foram introduzidas, para ocultar um fator constante multiplicativo que geralmente é difícil de definir e relativamente insignificante.$O(2n^2)$ O ( n 2 ) O ( log ( n 2 ) ) O ( log n ) O $O(n^2)$$O(\log (n^2))$ $O(\log n)$$O$

Seria correto dizer que é possível melhorar um para um ?$O(5n^2)$$O(3n^2)$

Não é uma melhoria se a complexidade de tempo de um algoritmo for alterada de para ou de para , porque é enquanto é . Portanto, é incorreto dizer que a complexidade do tempo foi aprimorada de para . É correto dizer que a complexidade temporal de um algoritmo foi aprimorada de para , é claro.$O(5n^2)$$O(3n^2)$$\Omega(5n^2)$$\Omega(3n^2)$$O(5n^2)$$O(3n^2)$$\Omega(5n^2)$$\Omega(3n^2)$$O(5n^2)$$O(3n^2)$$5n^2$$3n^2$

Exercício 1. Mostre que .$O(5n^2)=O(3n^2)=O(n^2)$

Exercício 2. Mostre que .$O(\log n)=O(\log (n^2))$

Exercício 3. Mostre que .$\Omega(n^2+n)=\Omega(n^2)$

Você está sempre livre para não usar esta notação. Ou seja, você pode determinar uma função $f(n)$ mais precisa possível e, em seguida, tentar melhorar isso. Por exemplo, você pode ter um algoritmo de classificação que faz comparações $f(n)$ , para tentar criar outro algoritmo de classificação que faça apenas comparações $g(n)$ . Obviamente, todos os tipos de funções $f(n)$ existem (em teoria) e também podem surgir (na prática).

Em vez de tratar a notação Big Oh como mágica misteriosa, na qual é necessário consultar os assistentes para perguntar se você pode fazer alguma coisa, observe a definição . Respeite a definição e faça o que for necessário para realizar seu trabalho.

Embora a resposta aceita seja bastante boa, ela ainda não toca na verdadeira razão pela qual $O(n) = O(2n)$ .

A notação Big-O descreve escalabilidade

Na sua essência, a Notação Big-O não é uma descrição de quanto tempo um algoritmo leva para ser executado. Nem é uma descrição de quantas etapas, linhas de código ou comparações um algoritmo faz. É mais útil quando usado para descrever como um algoritmo é escalonado com o número de entradas.

Faça uma pesquisa binária, por exemplo. Dada uma lista classificada, como você encontra um valor arbitrário dentro dela? Bem, você pode começar do meio. Como a lista é classificada, o valor do meio informará em qual metade da lista está o seu valor-alvo. Portanto, a lista que você precisa pesquisar agora está dividida ao meio. Isso pode ser aplicado recursivamente, passando para o meio da nova lista e assim sucessivamente até o tamanho da lista ser 1 e você encontrar seu valor (ou ele não existe na lista). Dobrar o tamanho da lista adiciona apenas uma etapa extra ao algoritmo, que é um relacionamento logarítmico. Portanto, esse algoritmo é $O(\log n)$. O logaritmo é a base 2, mas isso não importa - o núcleo do relacionamento é que multiplicar a lista por um valor constante apenas adiciona um valor constante ao tempo.

Compare uma pesquisa padrão em uma lista não classificada - a única maneira de pesquisar um valor nesse caso é verificar cada uma delas. O pior cenário (que é o que o Big-O implica especificamente) é que seu valor está no final, o que significa que para uma lista de tamanho $n$ , é necessário verificar $n$ valores. Dobrar o tamanho da lista duplica o número de vezes que você deve verificar, que é um relacionamento linear. $O(n)$ . Mas mesmo se você tivesse que executar duas operações em cada valor, algum processamento, por exemplo, o relacionamento linear ainda é válido. $O(2n)$ simplesmente não é útil como descritor, pois descreveria exatamente a mesma escalabilidade que $O(n)$ .

Compreendo que muitas dessas respostas estão basicamente dizendo para você chegar a essa conclusão lendo a definição de Big-O. Mas esse entendimento intuitivo levou um bom tempo para envolver minha cabeça e, por isso, eu a expus o mais claramente possível.

Você pode escrever $O(f)$ para qualquer função $f$ e faz todo o sentido. De acordo com a definição, $g(n)=O(f(n))$ se houver alguma constante  $c$ tal que $g(n)\leq c\,f(n)$ para todos grandes o suficiente $n$ . Nada nessa definição diz que$f$ deve ser algum tipo de função "agradável".

Mas, como outras respostas têm apontado, $g(n)=O(f(n))$ e $g(n)=O(2f(n))$ descrevem exatamente a mesma situação: se $g(n)\leq c\,f(n)$ para todos os suficientemente grandes $n$ , então também temos$g(n)\leq \tfrac{c}{2}2f(n)$, então$g(n)=O(2f(n))$, também (considerando a constante$c/2$).

Como uma questão secundária, não escreva " $\log n^2$ ", porque não está 100% claro do que isso significa. Você poderia dizer que obviamente significa $\log(n^2)$ mas quase todo mundo escreveria isso como $2\log n$ , o que coloca dúvidas na mente do leitor.

$O$

Observe a definição de O (f (n)) e veja que, por exemplo, O (2n ^ 2) e O (n ^ 2) são exatamente os mesmos. Alterar um algoritmo de operações de 5n ^ 2 para 3n ^ 2 é uma melhoria de 40%. Mudar de O (5n ^ 2) para O (3n ^ 2) não é realmente nenhuma alteração, eles são os mesmos.

Novamente, leia a definição de O (f (n)).

$O(f(n)) = \lbrace g(n) | \exists n,c>0: \forall m > n: c\times g(m) \le f(m)\rbrace$

$=$$\in$

$O(n) = O(2n)$