É uma versão "local" do 3-SAT NP-hard?

Abaixo está minha simplificação de parte de um projeto de pesquisa maior sobre redes espaciais bayesianas:

Digamos que uma variável seja " -local" em uma string se houver menos de cláusulas entre a primeira e a última cláusula em que ela aparece (onde é um número natural).$k$$C \in 3\text{-CNF}$$k$$k$

Agora considere o subconjunto definido pelo critério de que para qualquer , todas as variáveis ​​em é . Para que (se houver) é NP-difícil?$(3,k)\text{-LSAT} \subseteq 3\text{-SAT}$$C \in (3,k)\text{-LSAT}$$C$$k$$k$$(3,k)\text{-LSAT}$

Aqui está o que eu considerei até agora:

(1) Variações no método de mostrar que está em P reescrevendo cada disjunção como uma implicação e examinando caminhos direcionados no gráfico direcionado dessas implicações (anotados aqui e apresentados em detalhes nas pág. 184- 185 da Complexidade Computacional de Papadimitriou ). Diferentemente de , há ramificação dos caminhos direcionados em , mas talvez o número de caminhos direcionados seja limitado pelas restrições espaciais nas variáveis. Até agora, não houve sucesso com isso.$2\text{-SAT}$$2\text{-SAT}$$(3,k)\text{-LSAT}$

(2) Uma redução no tempo polinomial de (ou outro problema conhecido de NP-complete) para . Por exemplo, eu tentei vários esquemas de introdução de novas variáveis. No entanto, reunir as cláusulas que contêm a variável original geralmente exige que eu arraste "cadeias" de cláusulas adicionais contendo as novas variáveis ​​e elas interfiram nas restrições espaciais das outras variáveis.$3\text{-SAT}$$(3,k)\text{-LSAT}$$x_k$

Certamente não estou em um novo território aqui. Existe um problema NP-hard conhecido que pode ser reduzido para ou as restrições espaciais impedem que o problema seja tão difícil?$(3,k)\text{-LSAT}$

$(3,k)\text{-LSAT}$ está em P para todos os . Como você indicou, a localidade é uma grande obstrução à completude da PN.$k$

Aqui está um algoritmo polinomial.

Entrada: , , em que é a ésima cláusula. Saída: true se se torna 1 sob alguma atribuição de todas as variáveis. Procedimento:$\phi\in (3,k)\text{-LSAT}$$\phi=c_1\wedge c_2\cdots \wedge c_m$$c_i$$i$
$\phi$

1. Construa o conjunto , as variáveis ​​que aparecem em pelo menos uma de , .$B_i$$c_i, c_{i+1}, \cdots, c_{i+k}$$1\le i\le m-k$
2. O conjunto de construções .$A_i=\{f: B_i\to\{0,1\} \mid c_i, c_{i+1}, \cdots, c_{i+k} \text{ become 1 under} f\}$
3. Conjunto de construções$E=\cup_i\{(f, g)\mid f\in A_i, g\in A_{i+1}, f(x)=g(x)\text{ for all }x\in B_i\cap B_{i+1} \}$
4. Seja . Considere o gráfico direcionado . Para cada vértice em , inicie uma pesquisa profunda em para ver se conseguimos alcançar um vértice em . Se encontrado, retorne verdadeiro.$V=A_1\cup A_2\cdots\cup A_{m-k}$$G(V,E)$$A_1$$G$$A_{m-k}$
5. Se chegamos aqui, retorne false.

A correção do algoritmo acima vem da seguinte reivindicação.

Afirmação. é satisfatório existe um caminho em de um vértice em para um vértice em . Prova. " ": suponha que se torne 1 na atribuição . Seja a restrição de para . Então temos o caminho . " ": suponha que exista um caminho , em que e . Definir atribuição$\phi$$\Longleftrightarrow$$G$$A_1$$A_{m-k}$

$\Longrightarrow$$\phi$$f$$f_i$$f$$B_i$$f_1, \cdots, f_{m-k}$
$\Longleftarrow$$f_1, \cdots, f_{m-k}$$f_1\in A_1$$f_{m-k}\in A_{m-k}$$f$ tal que concorda com todos os , ou seja, se . Podemos verificar que está bem definido. Como se torna 1 para alguns para todos , se torna 1 em .$f$$f_i$$f(x)=f_i(x)$$x\in B_i$$f$$c_\ell$$f_j$$\ell$$\phi$$f$

O número de vértices . Por isso o algoritmo é executado em tempo polinomial em termos de , o número de cláusulas e , o número de variáveis no total.$|V|\le 2^{3(k+1)}(m-k)$$m$$n$