Classifique uma matriz de 5 números inteiros com um máximo de 7 comparações

Como posso classificar uma lista de 5 números inteiros, de modo que, na pior das hipóteses, são necessários 7 comparações? Não ligo para quantas outras operações são executadas. Não sei nada de particular sobre os números inteiros.

Eu tentei algumas abordagens diferentes de dividir e conquistar, que me reduziram a 8 comparações, como seguir uma abordagem de mesclagem ou combinar mesclagem com o uso de pesquisa binária para encontrar a posição de inserção, mas toda vez que eu termino com 8 compara o pior caso .

No momento, estou apenas procurando uma dica, não uma solução.

algorithms sorting

— Robert S. Barnes
fonte

Você já tentou escrever a árvore "comparar com"? Tem

folhas, cada uma correspondendo a uma permutação dos números inteiros. Se você não sabe o que quero dizer com a árvore "comparar com", conhece a prova de que precisa de

comparações? Ps, o que faz você pensar que é possível?

5! = 120

$5! = 120$

n \log n

$n \log n$

— Pål GD 01/04

Bem, no complemento de 8 bits dois, if(x > y)é o mesmo if((x - y) & 0x80)que dificilmente se compara. Eu acho que nós devemos esquecer que os objetos são inteiros e assumir devemos usar alguma mágica compare(x, y)função para comparar os objetos ...

— Karolis Juodelė

O 'check-out da seção 5.3 sobre classificação ideal no volume 3 de The Art Of Computer Programming , que cobre precisamente essa questão', conta como uma dica ou solução? :-)

— Steven Stadnicki

O limite é realmente que

. Então é possível (em princípio).

2^{c} \geq n!

$2^c \ge n!$

5! = 120 < 2^{7} = 128

$5! = 120 < 2^7 = 128$

— vonbrand

relacionados: Classificação de uma matriz com o número mínimo de comparações

— Janus Troelsen

Respostas:

Há apenas uma maneira de iniciar esse processo (e para quase todas as suas decisões sobre o que comparar nas etapas posteriores, existe apenas uma correta). Aqui está como descobrir isso. Primeiro, observe que existem respostas possíveis que você pode obter para suas comparações e permutações diferentes que você precisa distinguir. $2^7 =128$ $5! = 120$

A primeira comparação é fácil: você precisa comparar duas chaves e, como não sabe nada sobre elas, todas as opções são igualmente boas. Então, digamos que você comparar e , e achar que . Agora você tem respostas possíveis restantes e permutações possíveis restantes (já que eliminamos metade delas). $a$ $b$ $a \leq b$ $2^6 = 64$ $60$

Em seguida, podemos comparar e , ou podemos comparar a uma das chaves que usamos na primeira comparação. Se compararmos e , e aprender que , então temos restantes respostas e permutações possíveis. Por outro lado, se compararmos com , e descobrimos que , temos permutações possíveis restantes, porque temos eliminado das permutações possíveis (aqueles com $c$ $d$ $c$ $c$ $d$ $c \leq d$ $32$ $30$ $c$ $a$ $a \leq c$ $40$ $1/3$ ). Temos apenas respostas possíveis, por isso estamos sem sorte. $c \leq a \leq b$ $32$

Então agora sabemos que temos que comparar a primeira e a segunda chaves e a terceira e quarta chaves. Podemos supor que temos e . Se compararmos a qualquer uma destas quatro chaves, pelo mesmo argumento foi utilizado na etapa anterior, poderíamos só eliminar das permutações remanescentes, e estamos sem sorte. Portanto, temos que comparar duas das teclas . Considerando a simetria, temos duas opções: comparar e ou comparar e $a\leq b$ $c \leq d$ $e$ $1/3$ $a,b,c,d$ $a$ $c$ $a$ $d$ . Um argumento de contagem semelhante mostra que devemos comparar e . Podemos assumir sem perda de generalidade que , e agora temos e . $a$ $c$ $a \leq c$ $a \leq b$ $a \leq c \leq d$

Desde que você pediu uma dica, eu não vou passar pelo resto da discussão. Você tem quatro comparações restantes. Use-os com sabedoria.

— Peter Shor
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Como você conseguiu que comparar

reduz apenas 40 permutações?

a

$a$

c

$c$

— Robert S. Barnes

@ Robert: Suponha que você tenha

. Então existem duas permutações de

consistentes com essas restrições,

. Para cada uma destas duas permutações, há quatro lugares que você pode adicionar

e cinco lugares que você pode adicionar

a \leq b

$a \leq b$

a \leq c

$a \leq c$

a, b, c

$a,b,c$

a < b < c

$a < b < c$

a < c < b

$a < c < b$

d

$d$

e

$e$

— Peter Shor

Você pode encontrar isso em The Art of Computer Programming vol III, de D.Knuth, mas a estratégia é a seguinte (presumo que você tenha o array ): Se você quiser ler as dicas apenas duas primeiras linhas da minha resposta $\{a,b,c,d,e\}$

Primeiro grupo de pares de números: . $(a,b), (c,d)$
Compare os pares para ordená-los, por exemplo: . $a<b, c<d$
Compare os menores elementos de pares, obtemos resultado, por exemplo, . $a<c$
- $e<c$
- - - - $Compare(b,e)$
    - - $Compare(b,c)$
  - - - $Compare(b,d)$
    - - $Compare(b,c)$

$e$ $c$

— George
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Tem certeza de que isso está correto? Suponha que você obtenha os seguintes resultados: a <b, c <d, a <ce depois c <e, b <e, c <b e d <e. Os pedidos a <c <b <d <e e a <c <d <b <e são ambos consistentes com eles. A razão é que b e d nunca são comparados, implícita ou explicitamente. Talvez eu esteja enganado em algum lugar, se sim, por favor me corrija.

— George #