Dado um gráfico acorde

Um gráfico é cordal se não tiver ciclos induzidos de comprimento ou mais. Uma árvore camarilha de é uma árvore na qual os vértices da árvore são os cliques maximais de . Uma aresta em corresponde a um separador mínimo. O número de árvores de clique distintas pode ser exponencial no número de vértices em um gráfico acorde.$G$$4$$T$$G$$G$$T$

A reduzida grafo clique é a união de todas as árvores clique de . Ou seja, possui todos os mesmos vértices e todas as arestas possíveis. Qual é a complexidade da computação de para um determinado ?$C_r(G)$$G$$C_r(G)$$G$

Acho que vi uma apresentação alegando que pode ser calculado em O ( m + n ) tempo sem prova. Isso significa que ele é tão fácil como computar uma árvore camarilha do G . Existe uma referência que confirme isso ou forneça um algoritmo mais lento para calculá-lo?$C_r(G)$$O(m+n)$$G$

A complexidade é O (nm) ... de G calcule os cliques máximos e faça-os vértices no gráfico H (inicialmente sem arestas) ... calcule todos os separadores mínimos e ordene-os por tamanho ... escolha o maior separador S e faça quaisquer duas cliques C, C 'adjacentes em H (conecte-as por uma aresta com o rótulo S) se C, C' contiver S e estiverem em diferentes componentes conectados de H (inicialmente isso é sempre verdade, mas pode ser para não ser mais tarde) ... escolha o próximo maior separador e faça o mesmo ... repita até que todos os separadores sejam processados ​​... o gráfico resultante H é o gráfico de clique reduzido de G ... calculando cliques máximos e separadores mínimos, usando O (n + m) ... existem O (n) cliques e O (n) separadores ... o restante da construção é O (nm), pois o processamento de cada separador pode levar tempo O (m) ... .. .isso não pode ser melhorado abaixo de O (n ^ 2), a menos que você possa resolver o seguinte problema: dado um gráfico G encontre dois vértices u, v de modo que N (u) contenha N (v) ... esse último não é conhecido por ter Solução O (n + m) ... ... é, portanto, improvável que seja possível um algoritmo O (n + m) para calcular gráficos de clique reduzidos ...

veja a Seção 5 em M. Habib, J. Stacho: algoritmo de tempo polinomial para folhear gráficos de acordes, In: Algoritmos - SEC 2009, Notas de aula em Ciência da Computação 5757/2009, pp. 290-300. ( http://www.cs.toronto.edu/~stacho/public/leafage-esa1.pdf )