Soma de subconjunto: reduza caso especial a geral

A Wikipedia declara o problema da soma do subconjunto como encontrar um subconjunto de um determinado conjunto múltiplo de números inteiros, cuja soma é zero. Além disso, afirma que é equivalente a encontrar um subconjunto com soma para qualquer dado .$s$$s$

Então, acredito que, como são equivalentes, deve haver uma redução em ambos os lados. O de a zero é trivial, configurando . Mas não tive sorte em encontrar uma redução de zero a , ou seja, dado um conjunto de números inteiros , construa um conjunto de números inteiros contendo um subconjunto com soma (para qualquer ), se e somente se houver como subconjunto de com soma zero.$s$$s = 0$$s$$A$$B$$s$$s$$A$

Você pode me dar algumas dicas?

Você já tem uma redução de especial para geral. Ao definir , você basicamente usa o algoritmo geral para resolver o problema especial.$s=0$

Para o contrário (ou seja, uma redução de geral para especial):

Suponha que você está dado um conjunto e um número e você tem que determinar se existe algum subconjunto de que resume a .$S = \{x_1, \dots, x_n\}$$K$$S$$K$

Agora você deseja resolver esse problema, considerando um algoritmo para o caso em que é possível determinar se algum subconjunto é igual a .$0$

Agora, se , temos uma redução fácil: .$x_i \gt 0$$S' = \{x_1, x_2, \dots, x_n, -K\}$

$S'$ tem um subconjunto de soma sse tem um subconjunto de soma .$0$$S$$K$

O problema ocorre quando podemos ter para alguns dos .$x_i \le 0$$i$

Podemos assumir que (por quê?).$K \gt 0$

Suponhamos que a soma do positivo é e o negativo é . P x i$x_i$$P$$x_i$$N$

Agora construa um novo conjunto tal que$S' = \{y_1, y_2 \dots, y_n\}$

M = P + | N | + $y_i = x_i + M$ que .$M = P + |N| + K$

Cada .$y_i \gt 0$

Agora execute o algoritmo de soma de subconjunto zero nos conjuntos

$S' \cup \{-(K+M)\}$

$S' \cup \{-(K+2M)\}$

$S' \cup \{-(K+3M)\}$

$\dots$

$S' \cup \{-(K+nM)\}$

É fácil mostrar que, se tem um subconjunto da soma , pelo menos um dos conjuntos acima tem subconjunto da soma zero.$S$$K$

Deixarei a prova da outra direção para você.

A resposta de Aryabhata pode ser corrigida usando o fato de que podemos multiplicar todos os números por um $c$ grande e, em seguida, adicionar algo pequeno a cada um para agir como uma "etiqueta de presença" e fornecer alguns números extras que permitirão nós para chegar a zero, se pudéssemos chegar a $cK$ sem eles. Especificamente, usaremos $c=2(n+1)$ e 1 como tag de presença.

Dada uma instância $(S = \{x_1, \dots, x_n\}, K)$ do problema geral com o valor alvo $K$ , criaremos uma instância do problema específico (com valor alvo 0) que contém:

• $Y = \{y_1, \dots, y_n\}$ , onde$y_i = 2(n+1)x_i + 1$ .
• O número $z = -2K(n+1)-n$ .
• $n-1$ cópias do número 1, a serem chamadas de números "pull-up".

Suponho que Aryabhatta faça que $K$ seja positivo. (Já faz seis anos, responderei seu exercício para o leitor: a razão pela qual podemos fazer isso é que, se trocarmos os sinais de todos os números em uma instância do problema geral, incluindo $K$ , terminamos com um nova instância de problema equivalente.Isso significa que um algoritmo para resolver instâncias $K$ positivas é suficiente para resolver qualquer problema - para resolver uma instância com $K$ negativo , poderíamos executar essa troca de sinal, executar esse algoritmo e encaminhar sua resposta da seguinte forma: a resposta para a pergunta original e, é claro, se $K=0$ então não precisamos realizar nenhuma transformação do caso geral no caso especial!)

Primeiro, vamos mostrar que uma resposta SIM à instância dada do problema geral implica uma resposta SIM à instância construída do problema especial. Aqui podemos supor que alguma solução $\{x_{j_1}, \dots, x_{j_m}\}$ para o problema geral existe, ou seja, esta coleção não vazio de $m$ números somas para $K$ . Assim, se tomarmos as correspondentes $y$ -Valores $\{y_{j_1}, \dots, y_{j_m}\}$ na nossa soluo para o exemplo construídas, irão sintetizar a $2K(n+1)+m$ . Podemos então optar por incluir$-2K(n+1)-n$ na solução, deixando-nos com uma soma de$m-n$ . Desde$1 \le m \le n$ , isso está no intervalo$[-n+1, 0]$ , que podemos obter com sucesso até 0, incluindo alguns subconjuntos dos números de pull-up.

Agora vamos mostrar que uma resposta SIM à instância construída implica uma resposta SIM à instância original fornecida. É aqui que a multiplicação por $2(n+1)$ se torna importante - é o que nos permite ter certeza de que os números extras que incluímos não podem "fazer muito".

Aqui, podemos assumir que existe alguma solução $\{y_{j'_1}, \dots, y_{j'_{m'}}\}$ para a instância construída: ou seja, essa coleção não vazia de $m'$ números é igual a 0. Pelos requisitos do problema, esta solução contém em pelo menos um elemento. Além disso, ele deve conter pelo menos um elemento de $Y$ , pois sem isso é impossível atingir um total de 0: se apenas números de pull-up estiverem presentes, a soma estará necessariamente no intervalo $[1, n-1]$ ( note que, neste caso, pelo menos umo número de pull-up deve estar presente e todos eles são estritamente positivos; portanto, a soma não pode ser 0); enquanto que se a solução consistir em apenas $z$ e alguns números de pull-up, o total será necessariamente negativo porque $z = -2K(n+1)-n \le -n$ e o máximo que os números de pull-up puderem aumentar a soma por é $n-1$ .

$z$$Y$$2(n+1)$$n$$Y$$n-1$$Y$$n + n-1 = 2n-1$$2(n+1)$$z$$2(n+1)$$Y$$2(n+1)$$2(n+1)$$z = -2K(n+1)-n$

$z$

$(-2K(n+1) - n) + \sum_{i'=1}^{m'} (2(n+1) x_{j'_{i'}} + 1) + \sum {\text{pull-ups}} = 0$

e podemos reorganizar os termos:

$-2K(n+1) + \sum_{i'=1}^{m'} (2(n+1) x_{j'_{i'}}) - (n + \sum_{i'=1}^{m'} 1 + \sum {\text{pull-ups}}) = 0$

$-2K(n+1) + \sum_{i'=1}^{m'} (2(n+1) x_{j'_{i'}}) - (n + m' + \sum {\text{pull-ups}}) = 0$

$2(n+1)(-K + \sum_{i'=1}^{m'} x_{j'_{i'}}) - (n + m' + \sum {\text{pull-ups}}) = 0$

$2(n+1)$$2(n+1)$

$-(n + m' + \sum {\text{pull-ups}}) = 0$

Isso pode ser substituído diretamente na equação anterior para obter

$2(n+1)(-K + \sum_{i'=1}^{m'} x_{j'_{i'}}) = 0$

$2(n+1)$

$-K + \sum_{i'=1}^{m'} x_{j'_{i'}} = 0$

que produz uma solução para a instância original do problema geral.