Regularidade do meio exato das palavras de um idioma regular

Deixei $L$ser uma linguagem regular.
É o idioma$L_2 = \{y : \exists x,z\ \ s.t.|x|=|z|\ and\ xyz \in L \}$ regular?

Eu sei que é muito semelhante à pergunta aqui , mas o problema é que não é uma simples substring de uma palavra em uma linguagem comum, mas um "meio exato" - temos que contar o comprimento do prefixo e do sufixo.

Portanto, presumo que não seja regular, mas não consegui encontrar uma maneira de provar isso. Eu também não conseguia pensar em nenhuma maneira de modificar o NFA de$L$ aceitar $L_2$.

Dica: considere algum DFA para $L$. Para cada$n \geq 0$, deixei $A_n$ seja o conjunto de estados $s$de modo que exista alguma palavra de comprimento$n$ o que leva o DFA do estado inicial para $s$. Deixei$B_n$ seja o conjunto de estados $t$de modo que exista alguma palavra de comprimento$n$ que leva o DFA de $t$para um estado de aceitação. Finalmente, para dois estados$s,t$, deixei $R_{s,t}$ ser o conjunto (regular) de palavras que conduzem o DFA de $s$ para $t$. Nós temos

Let ser um DFA para . Sem perda de generalidade, assume . Construímos um ε-NFA para da seguinte maneira:$D = (Q, Σ, δ, q_0, F)$$L$$q_S, q_F \notin Q$$N = (Q ∪ \{q_S, q_F\}, Σ, Δ, q_S, \{q_F\})$$L_2$

Localizar cada caminho em de para qualquer . Para cada caminho, constrói os caminhos para (isto é, faça todas as “partes do meio” do caminho). Isso pode ser feito efetivamente. Construa combinando todos esses caminhos, juntamente com:$D$$q_0$$f ∈ F$$p_k: q_0 = q_{k,0} \xrightarrow{α_{k,1}} q_{k,1} \xrightarrow{α_{k,2}} … \xrightarrow{α_{k,i}} q_{k,i} \xrightarrow{α_{k,i+1}} … \xrightarrow{α_{k,n_k}} q_{k,n_k}$$p_k^{(i)} : q_{k,i} \xrightarrow{α_{k,i+1}} q_{k,i+1} \xrightarrow{α_{k,i+2}} … \xrightarrow{α_{k,n_k-i}} q_{k,n_k-i}$$0 \le i \le \frac{n_k}2$$Δ$

• $(q_S, ε, q_{k,i})$ para todos os como acima$i$
• $(q_{k, n_k-i}, ε, q_F)$ para todos os como acima$i$

$L(N)$ é regular por construção.

O esboço de prova de que : Seja . Por construção, sabemos que deve corresponder a pelo menos um dos caminhos acima. Cada um desses caminhos pertence a um caminho em , que contém um prefixo e sufixo adicionais de comprimento . Escolha como a palavra descrita por esse prefixo e a descrita pelo sufixo. Achamos que , com . Com raciocínio semelhante encontramos para cada um caminho em . Deixe seja o comprimento de e$L(N) = L_2$$w ∈ L(N)$$w$$p_k^{(i)}$$D$$i$$x$$y$$xwy ∈ L$$|x| = |y| = i$$w ∈ L_2$$N$$i$$x$$y$pertencente a . para alguns formulários .$w$$p_k^{(i)}$$k$$w$

Assim, .$L(N) = L_2$