As linguagens livres de contexto em fechadas sob complemento?

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As linguagens sem contexto não são fechadas sob complemento, sabemos disso.

Tanto quanto eu entendo, linguagens sem contexto que são um subconjunto de para algumas letras estão fechadas no complemento (!?) $a^*b^*$ $a,b$

Aqui está o meu argumento. Cada linguagem CF tem uma imagem Parikh semi-linear . Conjuntos semilineares são fechados sob complemento. O conjunto de vetores que representam o conjunto semi-linear pode ser facilmente transformado em uma gramática linear. $L$ $\pi(L) = \{ (m,n) \mid a^mb^n \in L \}$

Questão. Existe uma referência facilmente acessível a esse fato?

Tecnicamente, esses idiomas são chamados de limitados , ou seja, um subconjunto de para algumas palavras . $w_1^* \dots w_k^*$ $w_1,\dots,w_k$

Minha motivação para esta pergunta é de uma pergunta recente sobre a ausência de contexto de . Seu complemento dentro de parece mais fácil de manusear. $\{ a^nb^m \mid n^2 \neq m \}$ $a^*b^*$

— Hendrik Jan
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Você verificou "A teoria matemática das línguas livres de contexto", de Ginsburg? Aparentemente, o Teorema 5.4.2 fornece a caracterização de linguagens limitadas sem contexto a que você está se referindo, e aposto que Ginsburg mencionaria a implicação para complementar as linguagens limitadas sem contexto (no caso bidimensional).

— perfil completo de Yuval Filmus

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Essa caracterização de linguagens livres de contexto delimitadas é devida a Ginsburg ("A teoria matemática das linguagens livres de contexto") e aparece como Corolário 5.3.1 em seu livro. Para geral, existem algumas restrições nos conjuntos semilineares, mas para essas restrições são sempre satisfeitas e, portanto, é fácil deduzir que o complemento dessa linguagem (dentro de ) é contextualizado. livre. $k$ $k \leq 2$ $w_1^* w_2^*$

Ginsburg menciona essas implicações em seu livro.

Corolário 5.6.1 Se e são [sem contexto], e palavras, então é um idioma [sem contexto]. $M_1 \subseteq w_1^*w_2^*$ $M_2$ $w_1$ $w_2$ $M_1\cap M_2$

Corolário 5.6.2 Se e são [sem contexto], e palavras, então e são idiomas [sem contexto]. $M_1 \subseteq w_1^*w_2^*$ $M_2$ $w_1$ $w_2$ $M_1 - M_2$ $M_2-M_1$

— Yuval Filmus
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Outra prova usa a seguinte caracterização comprovada nesta resposta :

A linguagem é livre de contexto se for definível na aritmética de Presburger. $\{ a^i b^j : (i,j) \in A \}$ $A$

Claramente é definível na aritmética do Presburger se for definível na aritmética do Presburger. $A$ $\overline{A}$

Isso mostra que se os idiomas são livres de contexto, todas as expressões booleanas nos idiomas (envolvendo união, interseção e complementação) também são livres de contexto. $L_i \subseteq a^*b^*$

— Yuval Filmus
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