Separando números com uma diferença mínima

Dado é um número inteiro positivo , e os números com para cada . Qual é a complexidade de decidir se existem números inteiros modo que para todos os e para todos os ?$n$$a_1,b_1,\dots,a_n,b_n$$a_i\leq b_i$$i$$c_1,\dots,c_n$$a_i\leq c_i\leq b_i$$i$$|c_i-c_j|\geq 2$$i,j$

O que pode ser observado é que um algoritmo ganancioso, em que assumimos que e escolhemos acordo com essa ordem, não necessariamente funciona. Por exemplo, podemos ter . Colocando não funciona (que não deixa espaço para ), mas o que funciona é colocar e . O problema é talvez NP-difícil?$a_1\leq\dots\leq a_n$$c_i$$a_1=1, b_1=4, a_2=b_2=2$$c_1=1$$c_2$$c_1=4$$c_2=2$

Conforme mostrado na resposta anterior, esse problema pode ser modelado como um problema de agendamento com datas de lançamento e vencimento. No entanto, a heurística de Schrage funciona apenas para o caso$p_j=1$ (todos os tempos de processamento são $1$) ou quando as datas de lançamento e vencimento concordarem (ou seja, há um pedido que $r_1\leq\cdots\leq r_n$ e $d_1\leq\cdots\leq d_n$)

Para o caso $p_j=p$algoritmos polinomiais foram encontrados por Simons (1978) , Carlier (1981) e Garey et al. (1981) , correndo no tempo$O(n^2\log n)$, $O(n^2\log n)$e $O(n\log n)$, respectivamente.

O algoritmo de Garey et al. agenda tarefas de unidade de tempo, mas permite liberação arbitrária e datas de vencimento. O problema acima pode ser reduzido a essa configuração dividindo todas as datas e tempos de processamento por$p$. A idéia principal do algoritmo é encontrar um conjunto de regiões proibidas em que nenhuma tarefa tem permissão para iniciar. Eles mostram que a heurística de Schrage, ao respeitar as regiões proibidas, encontra um cronograma possível de produção mínima. Ao construir as regiões proibidas, seu algoritmo também pode detectar inviabilidade.

Para ver como o algoritmo funciona, primeiro observe um problema mais simples: agende $n$ tarefas em tempo de unidade entre uma data de lançamento $r$ e um prazo $d$ respeitando regiões proibidas $F=\bigcup_i (a_i,b_i)$, onde cada região $(a_i,b_i)$é um intervalo aberto. (Observe que não estamos preocupados com a liberação e as datas de vencimento de tarefas individuais.)

Esse problema pode ser resolvido por Backscheduling : defina um horário de início da sentinela$s_{n+1}=d$, e para $i=n,n-1,\ldots,1$ definir hora de início $s_i$ até a última hora, o mais tardar $s_{i+1}-1$ isso não é proibido.

Escreva $B(r,d,n,F)$ para uma aplicação de Backscheduling para as entradas acima e defina o valor de retorno como $s_1$, a data de início mais recente possível para agendar o $n$tarefas. Agora se$B(r,d,n,F)<r$ não há cronograma viável para o $n$tarefas. Além disso, se$r\leq B(r,d,n,F)<r+1$ nenhuma outra tarefa pode começar em $(B(r,d,n,F)-1,r)$ pois, caso contrário, não há novamente um cronograma viável para o $n$ tarefas e, portanto, $(B(r,d,n,F)-1,r)$ pode ser declarada uma região proibida.

Acontece que essa lógica é suficiente para encontrar todas as regiões proibidas necessárias para fazer o trabalho heurístico de Schrage. Suponha que as tarefas sejam ordenadas de forma que$r_1\leq r_2\leq\cdots\leq r_n$ e escreva $n(r,d)$ para o número de tarefas liberadas e vencidas no intervalo fechado $[r,d]$.

1. conjunto $F=\emptyset$
2. para tarefas $i=n,n-1,\ldots,1$:
3.   $c=\min \{ B(r_i,d_j,n(r_i,d_j),F) \mid \forall j: d_j\geq d_i\}$
4.   E se $c<r_i$: retornar "sem agenda viável"
5.   senão se $r_i\leq c<r_i+1$: definir $F=F\cup\{(c-1,r_i)\}$

Uma implementação direta, como acima, levaria tempo $O(n^4)$. Garey et al. mostre (além da exatidão) que, atualizando os tempos obtidos pelo Backscheduling, juntando regiões proibidas sobrepostas e fazendo consultas "proibidas"$O(1)$ tempo pode ser reduzido a $O(n^2)$e usando estruturas de dados ainda melhores para $O(n\log n)$.

Seu problema é conhecido como agendamento não preventivo de máquina única, com prazos e prazos de liberação, com tarefas de duração idêntica, e pode ser resolvido com eficiência usando a heurística gananciosa de Schrage.

Vamos primeiro descrever o problema de maneira mais formal. Nos é dada uma sequência de intervalos de tempo$[r_i,d_i]$ e uma sequência de comprimentos de trabalho $p_i$. Queremos agendar cada trabalho dentro do seu intervalo, para que não haja dois trabalhos cruzados.

No nosso caso $r_i = a_i$, $d_i = b_i + 2$e $p_i = 2$. O horário de início de cada trabalho$c_i$ satisfaz assim $a_i \leq c_i \leq b_i$, e dois trabalhos entram em conflito se $(c_i,c_i+2)$ cruza $(c_j,c_j+2)$, que é o mesmo que $|c_i - c_j| < 2$. (Sem perda de generalidade, todos os trabalhos são agendados em horários inteiros.)

A heurística de Schrage é uma heurística comum que é ótima em alguns casos, embora não necessariamente essa. No entanto, existem outros algoritmos na literatura que resolvem esse problema com eficiência.

Seja A o menor dos $a_i$. Depois, há duas opções para a primeira$c_i$ escolher que obviamente não pode ser melhorado: Primeiro, encontre o i tal que $a_i = A$ e $b_i$ é o menor possível, então deixe $c_i = a_i$. Dois, escolha j de modo que$a_j = A+1$, $b_j<b_i$e $b_j$ o menor possível, então deixe $c_j=b_j$(isso pode não ser possível). Em seguida, remova esse item da lista de intervalos, atualize todos$a_i$ ser maior em dois do que o $c_i$ que foi escolhido e verifique se não $b_i$é muito pequeno. A primeira pesquisa profunda e o backtracking encontrarão uma solução.

Há uma boa chance de que isso seja rápido, pois a primeira escolha não é ruim como heurística.

Se houver exatamente k intervalos com $a_i < A$ para alguns A, e encontramos valores de k $c_i <= A-2$ então estes $c_i$são ideais e o retorno para esses itens k não pode ajudar e nunca será necessário. Por outro lado, se houver muitos valores$b_i$ muito próximos, que podem ser usados ​​para provar que não há solução.

Finalmente, o problema pode ser abordado a partir do menor $a_i$ou igualmente bem das maiores $b_i$.