Decidir se uma máquina de Turing fez um movimento para a esquerda

Ao escrever uma decisão para uma máquina para ver se ela fez um movimento para a esquerda ou não em uma entrada de w , diz-se que, se continuarmos o cálculo para$|w|+N+1$ ($N$ : número de estados) número de etapas, podemos tomar uma decisão para essa decisão.

Não entendi porque $|w|+N+1$número de etapas. Alguém poderia explicar isso com mais detalhes?

$|w|$ são necessárias etapas para verificar a entrada, se uma movimentação para a esquerda for feita durante essa verificação.

Caso contrário, no final da entrada, a cabeça da máquina de Turing fica na parte em branco da fita (acima do primeiro símbolo em branco após a entrada). Suponha que o estado seja$q_{i_1}$. Se a máquina de Turing não der um passo à esquerda e permanecer no estado$q_{i_1}$, ele fará isso para sempre (continuará se movendo na infinita fita em branco no estado $q_{i_1}$) Mas pode se mover para a direita e mudar para o estado$q_{i_2}, i_1 \neq i_2$.

Se você continuar com esse raciocínio, verá que existem apenas duas possibilidades:

• ele se move para a esquerda ou

• entra em um estado $q_{i_{k+j}}$ pela segunda vez e, assim, ele fará um loop para sempre: $q_{i_k} \rightarrow q_{i_{k+1}}\rightarrow ...\rightarrow q_{i_{k+j}}=q_{i_k} \rightarrow q_{i_{k+1}}\rightarrow ...$

Mas existem apenas $N$ estados diferentes, para no máximo $N+1$ são necessárias mais etapas para detectar esse loop.