Por que alguém geralmente exige construtibilidade de espaço no teorema de Savitch?

Quando o famoso teorema de Savitch é declarado, muitas vezes se vê a exigência de que $S(n)$seja espaço construtível (curiosamente, é omitido na Wikipedia). Minha pergunta simples é: por que precisamos disso? Eu entendo o requisito para$S(n)$ estar em $\Omega(\log n)$, o que é claro na prova. Mas nenhuma prova que eu vi até agora usa explicitamente que$S(n)$ é espaço construtível.

Minha explicação: para chamar o procedimento REACH (ou PATH ou o que você quiser chamá-lo), o último parâmetro precisa ser "explicitado" e para não deixar nossos limites espaciais de S (n) para uma chamada , não devemos precisar mais do que $S(n)$ espaço para anotá-la.

Eu acredito que sua explicação está correta. A sub-rotina st-REACH recebe$(s,t,\ell)$ como entrada e descobre se deve ou não $t$ está acessível a partir de $s$ de $\ell$ passos. $s$ e $t$ serão as configurações inicial e final, e $\ell=2^{O(s(n))}$, o limite superior do número de configurações diferentes.

Para definir $\ell$ é preciso ser capaz de calcular $s(n)$ (ou melhor, $2^{O(s(n))}$) Se esse processo demorar mais de$O(s^2(n))$espaço, a máquina inteira terá espaço mais do que o permitido. É possível que mesmo$O(s^2(n))$ é demais por causa da chamada recursiva ao st-REACH (existe algum outro motivo possível?), mas não verifiquei isso.

Isso é bem elaborado no livro de Teoria da Computação de Dexter Kozen, no capítulo 2.

O Teorema de Savitch (Teorema 1 em seu artigo) diz: se $S(n) \ge \log n$, então $\text{NSPACE}(S(n)) \subseteq \text{DSPACE}(S(n)^2)$. A construtibilidade de espaço geralmente parece ser assumida em uma prova, mas esse requisito pode ser removido reiniciando a pesquisa com um limite de espaço fixo que pode aumentar a cada tentativa.

Talvez a confusão ocorra porque o trabalho original de Savitch trata principalmente de investigar se$\text{NSPACE}(S(n)) \not\subseteq \text{DSPACE}(S(n))$. Portanto, gasta muito esforço em funções construtíveis no espaço, devido à seguinte observação do artigo:

É natural perguntar se existe alguma função de armazenamento cujas classes de complexidade determinística e não determinística sejam iguais. A resposta foi dada por Manuel Blum e é "sim". Blum mostrou que existem funções de armazenamento arbitrariamente grandes L (n), de modo que um conjunto é aceito no armazenamento determinístico L (n) se, e somente se, for aceito no armazenamento não determinístico L (n). Essas funções L (n) não são, no entanto, "bem-comportadas" e o Teorema 3 não se aplica a elas.

(Aqui "bem-comportado" refere-se às funções construtivas em espaço, chamadas mensuráveis por Savitch.)