Dada uma árvore, encontre um vértice que maximize a distância mínima a qualquer folha

Se me for dado um gráfico que forma uma árvore, estou interessado em encontrar um vértice que maximize a distância mínima a qualquer folha.

Estou certo de que esse problema já foi estudado antes. Alguém sabe o nome deste problema ou um algoritmo para resolvê-lo?

Para encontrar um vértice de distância máxima de qualquer folha, você pode realizar uma pesquisa abrangente a partir de muitos pontos de partida, como as folhas. Como um BFS visita cada nó pelo caminho mais curto possível a partir da (s) fonte (s) da pesquisa, podemos atribuir facilmente a cada nó a distância até a folha mais próxima.

• Inserir em uma fila uma coleção de pares $(\ell,0)$ para $\ell$ abrangendo todas as folhas e registrando $\textrm{max} = 0$.

• Repita o seguinte até que a fila esteja vazia:

  1. Estale um par $(v,d)$fora da fila. E se$d = \textrm{max}$inserir $v$ em uma coleção de elementos de distância máxima.

  2. Se houver nós adjacentes a $v$ que não foram visitados, empurre um par $(w,d+1)$ na fila para cada vizinho $w$, marcando-os como tendo sido visitados. Se houver algum$w$ esvazie a coleção de elementos de distância máxima (se não estiver vazia) e defina $\textrm{max} = d+1$.

O resultado é uma coleção de nós que estão todos à distância pelo menos $\textrm{max}$ de qualquer folha.

Deixei $n = |V|$ (Observe que $m = |E| = n-1$) Supondo que possamos preencher a fila com as folhas da árvore a tempo$O(n)$examinando todos os nós do gráfico e que os vértices têm listas de adjacência de seus vizinhos, "atravessamos" cada aresta duas vezes para considerar os vizinhos de cada vértice; então esse algoritmo leva$O(n+m) = O(n)$Tempo. Também funciona para não-árvores, recuperando novamente$O(n+m)$ Tempo.

Realize a pesquisa da primeira largura de todas as folhas em paralelo, ou seja, visite todos os vizinhos de todas as folhas, seus respectivos vizinhos e assim por diante. O nó visitado por último é o seu vencedor.

Se você permitir que todas as pesquisas compartilhem a visitedbandeira, nenhum vértice será visitado duas vezes. Como temos uma árvore, todas as arestas são visitadas apenas uma vez. No total, obtemos tempo de execução linear (no número de nós).