Algoritmo

Suponha que recebamos inteiros distintos , de modo que para alguma constante e para todos . $n$ $a_1, a_2, \dots, a_n$ $0 \le a_i \le kn$ $k \gt 0$ $i$

Estamos interessados em encontrar as contagens de todas as possíveis somas em pares . ( é permitido). $S_{ij} = a_i + a_j$ $i = j$

Um algoritmo é construir o polinômio de grau , e calcular seu quadrado usando o método de transformação de Fourier e ler as potências com seus coeficientes no polinômio resultante. Este é um algoritmo de tempo . $P(x) = \sum_{j=1}^{n} x^{a_j}$ $\le kn$ $O(n \log n)$

Eu tenho duas perguntas:

Existe um algoritmo que não usa FFT? $O(n \log n)$
Algoritmos melhores são conhecidos (ou seja, )? (FFT permitido). $o(n \log n)$

algorithms time-complexity fourier-transform

— Aryabhata
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Por que é importante não usar FFT? Parece que você já tem uma boa solução para o seu problema. De onde vem o requisito de não usar a FFT? Isso me parece um requisito bastante natural de impor.

— DW

@ DW: Porque então não haverá uma pergunta a fazer? :-) Estou curioso para saber se existe uma abordagem diferente.

— Aryabhata 28/05

OK, entendi! Eu admito que também estou curioso. :-) Obrigado pela pergunta interessante.

— DW

@DW: De nada :-)

— Aryabhata

Parece que esse problema é equivalente ao número inteiro / quadrado polinomial:

1. Sabe-se que a multiplicação polinomial é equivalente à multiplicação inteira .

2. Obviamente, você já reduziu o problema ao quadrado polinomial / inteiro; portanto, esse problema é no máximo tão difícil quanto quadrático.

Agora vou reduzir o quadrado inteiro para esse problema:

Suponha que você tenha um algoritmo:

F (\vec{uma}) \to P^{2} (x), Onde P (x) = \sum_{{uma}_{Eu} \in \vec{uma}} x^{{uma}_{Eu}}

$F(\mathbf{\vec a})\rightarrow P^2(x),\\ \text{where } P(x)=\sum_{a_i \in \mathbf{\vec a}} x^{a_i}$

Esse algoritmo é essencialmente o algoritmo que você solicita na sua pergunta. Assim, se eu tivesse um algoritmo mágico que possa fazer isso, eu posso criar uma função, que quadrará o número inteiro ( oh sim, eu amo mathjax: P ): ${\rm S{\small QUARE}}\left(y\right)$ $y$

\begin{aligned} Algoritmo 1 Squaring \\ 1 : & procedimento S Q você UMA R E (y) : \\ 2) : & \vec{uma} \leftarrow () & ▹ \vec{uma} começa como uma sequência polinomial vazia \\ 3) : & Eu \leftarrow 0 0 \\ 4) : & W h Eu eu e y \neq 0 0 d o & ▹ pausa y para baixo em um polinômio de base 2 \\ 5) : & Eu f y & 1 t h e n & ▹ se lsb de y está definido \\ 6 : & \vec{uma} \leftarrow \vec{uma} Eu & ▹ acrescentar Eu para \vec{uma} (anexando x^{Eu}) \\ 7) : & e n d Eu f \\ 8) : & Eu \leftarrow Eu + 1 \\ 9 : & y \leftarrow y ≫ 1 & ▹ mudança y certo por um \\ 10) : & e n d W h Eu eu e \\ 11) : & P^{2} (x) \leftarrow F (\vec{uma}) & ▹ obter o polinômio ao quadrado via F (\vec{uma}) \\ 12) : & r e t você r n P^{2} (2) & ▹ basta resumir o polinômio \\ 13) : & procedimento final \end{aligned}

$\begin{array}{rlr}\hline &\mathbf{\text{Algorithm 1}} \text{ Squaring}&\hspace{2em}&\\ \hline {\tiny 1.:}&\mathbf {\text{procedure }} {\rm S{\small QUARE}}\left(y\right):\\ {\tiny 2.:}&\hspace{2em}\mathbf {\vec a} \leftarrow () &&\triangleright~\mathbf {\vec a}\text{ starts as empty polynomial sequence}\\ {\tiny 3.:}&\hspace{2em}i \leftarrow 0\\ {\tiny 4.:}&\hspace{2em}\mathbf{while}~y\ne0~\mathbf{do} &&\triangleright~\text{break }y\text{ down into a polynomial of base }2\\ {\tiny 5.:}&\hspace{4em}\mathbf{if}~y~\&~1~\mathbf{then} &&\triangleright~\text{if lsb of }y\text{ is set}\\ {\tiny 6.:}&\hspace{6em}\mathbf{\vec a} \leftarrow \mathbf{\vec a}i &&\triangleright~\text{append }i\text{ to }\mathbf{\vec a}~\text{(appending }x^i\text{)}\\ {\tiny 7.:}&\hspace{4em}\mathbf{end~if}\\ {\tiny 8.:}&\hspace{4em}i \leftarrow i + 1\\ {\tiny 9.:}&\hspace{4em}y \leftarrow y \gg 1 &&\triangleright~\text{shift }y\text{ right by one}\\ {\tiny 10.:}&\hspace{2em}\mathbf{end~while}\\ {\tiny 11.:}&\hspace{2em}P^2(x) \leftarrow F\left(\mathbf{\vec a}\right) &&\triangleright~\text{obtain the squared polynomial via } F\left(\mathbf{\vec a}\right)\\ {\tiny 12.:}&\hspace{2em}\mathbf{return}~P^2(2) &&\triangleright~\text{simply sum up the polynomial}\\ {\tiny 13.:}&\mathbf {\text{end procedure}}\\ \hline &\end{array}$

Python ( teste com o codepad ):

#/cs//q/11418/2755

def F(a):
    n = len(a)
    for i in range(n):
        assert a[i] >= 0

    # (r) => coefficient
    # coefficient \cdot x^{r}
    S = {}
    for ai in a:
        for aj in a:
            r = ai + aj

            if r not in S:
                S[r] = 0

            S[r] += 1

    return list(S.items())

def SQUARE(x):
    x = int(x)

    a = []
    i = 0
    while x != 0:
        if x & 1 == 1:
            a += [i]
        x >>= 1
        i += 1

    print 'a:',a
    P2 = F(a)

    print 'P^2:',P2

    s = 0
    for e,c in P2:
        s += (1 << e)*c
    return s

3. Portanto, a quadratura é no máximo tão difícil quanto esse problema.

4. Portanto, o quadrado inteiro é equivalente a esse problema. (cada um deles é tão duro quanto o outro, devido a ( 2 , 3 , 1 ))

$\mathcal O(n\log n)$ $\mathcal O(n \log n \log \log n)$ $\mathcal O\left(n \log n\,2^{\mathcal O(\log^* n)}\right)$ $\Omega\left(n \log n\right)$

$\mathcal O\left(n\log n\right)$

5. Agora, seu problema não é exatamente a multiplicação, é o quadrado. Então, a quadratura é mais fácil? Bem, é um problema em aberto (não por enquanto) : sabe-se que o quadrado tem um algoritmo mais rápido que a multiplicação. Se você pudesse encontrar um algoritmo melhor para o seu problema do que usar multiplicação; então isso provavelmente seria um avanço.

$\mathcal O(n\log n)$ $\mathcal O(n\log n)$ $\mathcal O(n \log n)$ $\mathcal O(n\log n)$ também, como o melhor algoritmo de multiplicação se aproxima apenas dessa complexidade.

— Realz Slaw
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