Um problema de otimização contínua que reduz a TSP

Suponha que eu sou dado um conjunto finito de pontos no plano, e pediu para desenhar um duas vezes diferenciável curva C ( P ) através do p i 's, de tal modo que o seu perímetro seja tão pequena quanto possível. Supondo que p i = ( x i , y i ) e x i < x i + 1 , posso formalizar esse problema como:$p_1,p_2,..p_n$$C(P)$$p_i$$p_i=(x_i,y_i)$$x_i<x_{i+1}$

Problema 1 (editado em resposta aos comentários de Suresh) Determine as funções x ( t ) , y ( t ) de um parâmetro t de modo que o comprimento do arco L = ∫ [ t ∈ 0 , 1 ] $C^2$$x(t),y(t)$$t$ é minimizado, comx(0)=x1,x(1)=xne para todosti:x(ti)=xi, temosy(ti)=yi).$L = \int_{[t \in 0,1]} \sqrt{x'^2+y'^2}dt$$x(0) = x_1, x(1) = x_n$$t_i: x(t_i) = x_i$$y(t_i)=y_i)$

Como provar (ou talvez refutar) que o Problema 1 é difícil para o NP?

Por que eu suspeito que a dureza NP Suponha que a suposição de seja relaxada. Evidentemente, a função do comprimento do arco mínima é o passeio do Caixeiro Viajante do p i 's. Talvez a restrição de C 2 apenas torne o problema muito mais difícil?$C^2$$p_i$$C^2$

Contexto Uma variante deste problema foi postada no MSE . Não recebeu uma resposta lá e no MO . Dado que não é trivial resolver o problema, quero estabelecer o quão difícil é.

O requisito de diferenciabilidade não altera a natureza do problema: exigir (continuidade) ou C ∞ (diferenciabilidade infinita) fornece o mesmo limite inferior para o comprimento e a mesma ordem de pontos e é equivalente a resolver o problema do vendedor ambulante .$\mathcal{C}^0$$\mathcal{C}^{\infty}$

Se você tem uma solução para o TSP, possui uma curva que passa por todos os pontos. Por outro lado, suponha que você tenha uma curva C 0 de comprimento finito que passa por todos os pontos e permita que p σ ( 1 ) , … , p σ ( n ) seja a ordem em que ele percorre os pontos et 1 , … , t n os parâmetros correspondentes (se a curva atravessa um ponto mais do que uma vez, escolher qualquer um dos possíveis valores de t ). Então a curva construída a partir de n segmentos $\mathcal{C}^0$$\mathcal{C}^0$$p_{\sigma(1)}, \ldots, p_{\sigma(n)}$$t_1,\ldots,t_n$$t$$n$$[p_{\sigma(1)},p_{\sigma(2)}], \ldots, [p_{\sigma(n-1)},p_{\sigma(n)}], [p_{\sigma(n)},p_{\sigma(1)}]$é mais curto, porque para cada segmento uma linha reta é mais curta do que qualquer outra curva que conecta o ponto. Assim, para cada pedido dos pontos, a melhor curva é uma solução TSP, e a solução TSP fornece o melhor pedido dos pontos.

Vamos agora mostrar que exigir que a curva seja (ou C k para qualquer k ) não altera a melhor ordem dos pontos. Para qualquer solução TSP de comprimento total ℓ e ϵ > 0 , podemos arredondar todos os cantos, ou seja, construir uma curva C ∞ que atravessa os pontos na mesma ordem e tem um comprimento máximo de ℓ + ϵ (a construção explícita depende de funções algébricas e e - 1 / t 2 para definir funções de resposta e a partir dessas conexões suaves entre segmentos de curva, como$\mathcal{C}^{\infty}$$\mathcal{C}^k$$k$$\ell$$\epsilon > 0$$\mathcal{C}^{\infty}$$\ell + \epsilon$$e^{-1/t^2}$ que se conecta com y = 0 em x = 0 e com y = x em x = 1 ; é tedioso explicitar isso, mas eles são computáveis); Assim, o limite inferior para um C ∞ curva é a mesma que para um conjunto de segmentos (nota que o limite inferior não é alcançado, em geral).$e^{1-1/x^2} (x-e^{-1/(1-x)^2})$$y=0$$x=0$$y=x$$x=1$$\mathcal{C}^{\infty}$