Idiomas regulares planares

Na minha turma, um aluno perguntou se todos os autômatos finitos poderiam ser desenhados sem cruzar as bordas (parece que todos os meus exemplos). Claro que a resposta é negativa, o autômato óbvio para a linguagem $\{\; x\in\{a,b\}^* \mid \#_a(x)+2\#_b(x) \equiv 0 \mod 5 \;\}$ tem a estrutura de $K_5$ , o gráfico completo em cinco nós . Yuval mostrou uma estrutura semelhante para um idioma relacionado.

Minha pergunta é a seguinte: como mostramos que todo autômato de estado finito para esse idioma é não-plano? Com caracterizações semelhantes a Myhill-Nerode, provavelmente pode ser estabelecido que a estrutura da linguagem está presente no diagrama, mas como podemos fazer isso preciso?

E se isso puder ser feito, existe uma caracterização de "linguagens regulares planares"?

Não é verdade que todo DFA para esse idioma não é plano:

Aqui está uma linguagem verdadeiramente não plana:

$$\left\{ x \in \{\sigma_1,\ldots,\sigma_6\}^* \middle| \sum_{i=1}^6 i\#_{\sigma_i}(x) \equiv 0 \pmod 7 \right\}.$$ Faça qualquer FSA planar para esse idioma. Se removermos todos os estados inacessíveis, ainda obteremos um gráfico planar. Cada estado alcançável possui seis arestas de saída distintas , o que contradiz o fato conhecido de que todo gráfico plano tem um vértice de grau no máximo cinco.

O conceito já foi pesquisado antes. (Depois de saber a resposta, pesquise no google ...)

Primeiro, há trabalhos antigos de Book e Chandra, com o seguinte resumo.

Resumo. É mostrado que, para todo autômato de estado finito, existe um autômato não determinístico equivalente com um gráfico de estado planar. No entanto, existem autômatos de estado finito sem autômato determinístico equivalente com um gráfico de estado planar.

O exemplo e a argumentação dados são exatamente os de Yuval em sua resposta!

Além disso, eles também consideram o alfabeto binário.

Existe um autômato determinístico inerentemente não-plano de 35 estados sobre um alfabeto de duas letras.

Este trabalho é continuado recentemente por Bonfante e Deloup. Eles consideram casamentos topológicos. Informalmente, o gênero de um gráfico é o número de furos que precisam ser adicionados para incorporar ao gráfico uma superfície sem cruzar arestas. Gráficos com o gênero zero são planares. Então, o gênero de uma língua é o gênero mínimo dos autômatos para a linguagem.

Teorema 9 (Hierarquia Baseada em Gênero). Existem idiomas regulares de gênero arbitrariamente grande.

Na seção "Autômatos mínimos de estado versus autômatos mínimos de gênero", encontra-se o resultado, cuja prova é o primeiro exemplo dado por Yuval (dez estados para planejar a linguagem K5 dos cinco estados).

Proposição 7. Existem autômatos determinísticos com um gênero estritamente menor que o gênero do correspondente autômato mínimo.

G. Bonfante, F.Deloup: O gênero de linguagens regulares, Estruturas Matemáticas em Ciência da Computação, 2018. doi 10.1017 / S0960129516000037 . Também ArXiv 1301.4981 (2013)

RV Book, AK Chandra, Autômatos inerte não planares, Acta informatica 6 (1976) doi 10.1007 / BF00263745