Complexidade dos poderes da matriz de computação

Estou interessado no cálculo do 'th poder de um matriz . Suponha que tenhamos um algoritmo para multiplicação de matrizes que é executado no tempo . Então, pode-se calcular facilmente em . É possível resolver esse problema em menor complexidade de tempo? $n$ $n\times n$ $A$ $\mathcal{O}(M(n))$ $A^n$ $\mathcal{O}(M(n)\log(n))$

As entradas da matriz podem, em geral, ser de um semicondutor, mas você pode assumir uma estrutura adicional, se isso ajudar.

Nota: Entendo que, em computação geral, em tempo daria um algoritmo para exponenciação. Porém, vários problemas interessantes se reduzem ao caso especial de exponenciação de matriz em que m = , e não pude provar o mesmo sobre esse problema mais simples. $A^m$ $o(M(n)\log(m))$ $o(\log m)$ $\mathcal O(n)$

— Shitikanth
fonte

quais são as entradas da matriz? Inteiros?

— Kaveh

As entradas podem, em geral, ser de um semicondutor, mas você pode assumir uma estrutura adicional, se isso ajudar.

— Shitikanth

Não pude obter uma redução da multiplicação para a quadratura do método proposto acima (ou seja, usando

(A \pm B)^{2}

$(A\pm B)^2$ ). No entanto, o uso de

{(\begin{array}{cc} 0 & A \\ B & 0 \end{array})}^{2}

$\left( \begin{array}{cc} 0 & A \\ B & 0 \end{array} \right)^2$ funciona. No entanto, isso fornece apenas

Ω (M (n))

$\Omega(M(n))$ na computação de

A^{n}

$A^n$ .

— Shitikanth 13/04

Respostas:

Se a matriz é diagonalizáveis em seguida, tendo o $n$ ° de energia pode ser feita em tempo

O (D (n) + n \log n)

$O(D(n)+ n\log n)$ onde

D (n)

$D(n)$ é o tempo para diagonalizar

A

$A$ .

Apenas para completar os detalhes, se $A=P^{-1}DP$ com uma diagonal $D$ , então

A^{n} = (P^{- 1} D P)^{n} = P^{- 1} D^{n} P

$A^n = (P^{-1}DP)^n = P^{-1}D^nP$

e $D^n$ pode ser calculado por apenas tendo cada elemento da diagonal (cada valores próprios de $A$ ) para o $n$ ° de energia.

— Tocou.
fonte

Mesmo que a matriz seja diagonalizável, os algoritmos mais conhecidos para composição automática levam tempo . Usando o algoritmo Coppersmith-Winograd, já temos um algoritmo para calcular .

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2.3727} \log (m))

$O(n^{2.3727}\log(m))$

A^{m}

$A^m$

— Shitikanth 09/04

(1) O tempo limite que você menciona não é da Coppersmith-Winograd (como você provavelmente sabe). (2) Todos os algoritmos dessa forma funcionam apenas para anéis; eles não funcionam para consultas gerais (como você permite na sua pergunta).

— Ryan Williams

Uma boa saída é SVD de Decomposição de Valor Singular . Dada uma matriz real real de posição completa , o SVD a divide como onde é uma matriz diagonal, no tempo . Pelas propriedades de SVD, , portanto, apenas a matriz diagonal precisa ser exponenciada, e isso pode ser feito no tempo . Realizando a multiplicação final leva , então temos todas as operações . $n\times n$ $A$ $A=U\Sigma U^T$ $\Sigma$ $O(n^3)$ $A^m = U \Sigma^m U^T$ $O(n\log m)$ $U \times \Sigma^m \times U^T$ $O(n^{2.3727})$ $O(n^3 + n \log m)$

Atualizar após comentário O ponto é que, uma vez que o SVD é encontrado, qualquer energia leva apenas para calcular pelo seu próprio algoritmo CW. Mas essa não é sua pergunta. Se realmente houvesse um algoritmo , ele seria convertido imediatamente em um algoritmo para números inteiros. Suspeito que um desses não exista. $O(n^{2.3727}+n \log m)$ $o(M(n)\log(m))$ $o(\log n)$

— PKG
fonte

Como o algoritmo Coppersmith – Winograd encontra o produto de duas matrizes no tempo , já temos um algoritmo para calcular . Estou interessado em saber se isso pode ser aprimorado sem a necessidade de um algoritmo de multiplicação de matrizes melhor, especialmente para .

O (n^{2.3727})

$O(n^{2.3727})$

O (n^{2.3727} \log (m))

$O(n^{2.3727}\log(m))$

A^{m}

$A^m$

m = O (n)

$m=O(n)$

— Shitikanth

SVD não dá , em geral, - a matriz lado direito é

A = U Σ U^{⊤}

$A = U \Sigma U^\top$

V \neq U^{⊤}

$V \ne U^\top$

— Suresh

Também é um pouco enganador ter para o poder, então usarei . Se , deve levar de tempo para encontrar , que é equivalente a números inteiros multiplicadores

n

$n$

m

$m$

n = 1

$n=1$

O (M (1) \log m

$O(M(1)\log m$

A^{m}

$A^m$

— PKG

@Shitikanth, consulte ccrwest.org/gordon/jalg.pdf para obter uma pesquisa sobre algoritmos de exponenciação rápida. Em geral, não é possível usar menos que multiplicações.

\log m

$\log m$

— 9123 Joe

Isso não ficou claro em sua pergunta, como afirmado.

— PKG