Todos os problemas de programação linear inteira são NP-Hard?

Pelo que entendi, o problema de atribuição está em P, pois o algoritmo húngaro pode resolvê-lo em tempo polinomial - O (n ³ ). Também entendo que o problema de atribuição é um problema de programação linear inteira , mas a página da Wikipedia afirma que esse é NP-Hard. Para mim, isso implica que o problema de atribuição está no NP-Hard.

Mas certamente o problema de atribuição não pode estar em P e NP-Hard, caso contrário, P seria igual a NP? A página da Wikipedia significa simplesmente que o algoritmo geral para resolver todos os problemas de ILP é NP-Hard? Algumas outras fontes afirmam que o ILP é NP-Hard, então isso realmente está confundindo minha compreensão das classes de complexidade em geral.

Se um problema for NP-Hard, significa que existe uma classe de instâncias desse problema que são NP-Hard. É perfeitamente possível que outras classes específicas de instâncias sejam solucionáveis ​​em tempo polinomial.

Considere, por exemplo, o problema de encontrar uma coloração tridimensional de um gráfico . É um problema conhecido do NP-Hard. Agora imagine que suas instâncias estão restritas a gráficos que são, por exemplo, árvores. Claramente, você pode encontrar facilmente uma cor 3 de uma árvore em tempo polinomial (na verdade, você também pode encontrar uma cor 2).

Considere problemas de decisão por um segundo. Um método para provar a dureza de um problema de decisão é conceber uma redução polinomial (Karp) de outro problema Q que é conhecido por NP-Hard. Nesta redução, você mostra que existe uma função f que mapeia cada instância q do problema Q para uma instância do problema P, de modo que: q é uma instância yes para $P$$Q$$f$$q$$Q$$P$$q$ é um exemplo sim por P . Isso implica que a solução de f ( q ) deve ser "pelo menos tão difícil" quanto a solução de q .$Q \iff f(q)$$P$$f(q)$$q$

Observe como ele não é necessário para a imagem de ser igual ao conjunto das instâncias de P . Portanto, é perfeitamente possível que o problema P restrito a algum subconjunto de instâncias não seja difícil.$f$$P$$P$

Para retornar à sua pergunta original:

• O problema de atribuição pode ser resolvido em tempo polinomial, ou seja, uma solução para cada instância do problema de atribuição pode ser calculada em tempo polinomial.
• ILP é NP-Hard: em geral, pode ser difícil calcular uma solução para um problema de ILP, ou seja, há casos de ILP que são difíceis.
• Algumas instâncias específicas de ILP podem ser resolvidas em tempo polinomial.

Não, casos especiais podem ser mais fáceis.

$a_i \geq 0$$i \in [1..n]$

$\qquad\displaystyle \min \sum_{i=1}^n x_ia_i$

st e para .$\quad\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i \geq 1$xi∈Ni∈[1 ..n]
$\ \displaystyle x_i \in \mathbb{N}$$i \in [1..n]$

Ele encontra o mínimo entre (aquele para o qual, inevitavelmente, em uma solução ideal). Encontrar o mínimo de números é claramente um problema polinomial.$a_1, \dots, a_n$$x_i=1$$n$

Você pode modelar um problema polinomialmente solucionável como um IP. Isso não significa que o problema seja difícil para o NP. Simplesmente significa que não existe um algoritmo polinomial conhecido para resolver o modelo IP do seu problema (a menos que P = NP).

Então, como você sugeriu, o problema de atribuição está em P, mas seu modelo de IP é NP-difícil.

Não, existe um tipo especial de programa inteiro; se a matriz de restrição é TUM (matriz totalmente unimodular), ela pode ser relaxada no programa linear, que pode ser resolvido em tempo polinomial.

O problema de atribuição não é um ILP, mas um problema de LP e, portanto, não é difícil para NP.