Como praticamente construir gráficos de expansão regulares?

Eu preciso construir um gráfico de expansão d-regular para alguns pequenos d fixos (como 3 ou 4) de n vértices.

Qual é o método mais fácil de fazer isso na prática? Construindo um gráfico d-regular aleatório, que provou ser um expansor?

Também li sobre construções Margulis e gráficos Ramanujan que são expansores e uma construção usando um produto em zig-zag. A Wikipedia fornece uma visão geral agradável, mas muito curta: http://en.wikipedia.org/wiki/Expander_graph#cite_note-10 Mas qual método eu escolho na prática?

Para mim, esses métodos parecem todos muito complicados de implementar e, em particular, de entender e talvez bastante específicos. Não existem métodos mais fáceis, talvez baseados em permutações, para gerar praticamente uma sequência de gráficos expansores regulares d?

Talvez seja mais fácil construir gráficos expansores bipartidos d-regulares?

Também tenho outra pergunta: e as famílias de expansores D-regulares ruins? Essa noção faz sentido? Pode-se construir uma família de gráficos d-regulares (que obviamente estão conectados) o mais ruim possível no sentido de um expansor?

Desde já, obrigado.

— user2145167
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Existem construções explícitas mais fáceis do que as listadas, mas gráficos aleatórios devem fazer o truque e ter melhores parâmetros.

— Yuval Filmus

Você pode dar nomes ou referências às construções? Por parâmetros melhores, você quer dizer uma expansão melhor (de ponta), eu acho?

— user2145167

András deu o exemplo que eu tinha em mente, mas, em geral, gráficos aleatórios são (quase sempre) melhores do que construções explícitas. A expansão da borda não é apenas maior, qualquer outra propriedade semelhante que seja útil para o seu algoritmo é provavelmente automaticamente satisfeita por gráficos aleatórios.

— Yuval Filmus

Ok, para o grau 3, o exemplo da András ou os gráficos aleatórios parecem bons o suficiente para a minha aplicação. Seria interessante, em particular no que diz respeito aos gráficos aleatórios, construir uma família de gráficos de 3 reg que não seja um expansor. Mas isso é provavelmente muito difícil ou não é possível?

— usar o seguinte comando

Faça uma união de

s. Se você deseja um gráfico conectado, remova uma aresta de cada

(formando um gráfico conhecido como gráfico de diamante) e conecte-os em um ciclo.

K_{4}

$K_4$

K_{4}

$K_4$

— Yuval Filmus

Respostas:

Se você não se importa com gráficos com auto-loops, provavelmente a família de expansores "mais fácil" é essa, fornecendo expansores três vezes regulares.

Comece com algum número primo e construa vértices numerados de a . Para cada vértice , conecte a e , módulo . Conecte também ao vértice exclusivo modo que $p$ $0$ $p-1$ $u \ne 0$ $u$ $u-1$ $u+1$ $p$ $u$ $v$ . $uv \equiv 1 \mod p$

Como exemplo, o gráfico de 7 vértices na família é um ciclo de 7 com vértices numerados sequencialmente ao redor do ciclo; existem auto-loops em , e ; finalmente, há acordes unindo e e e . $6$ $0$ $1$ $3$ $5$ $2$ $4$

Consulte /mathpro/124708/an-expander-graph para mais discussões e referências. Existem muitos indicadores mais detalhados pesquisando no "expansor" em CSTheory , Math.SE e MO .

Como Yuval Filmus aponta, é provável que a construção aleatória dê melhores resultados em geral, mas é claro que pode não produzir um expansor (especialmente para gráficos pequenos).

— András Salamon
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Obrigado pela observação. Eu já havia pesquisado expansores antes em outros sites, mas não no MO, realmente parece haver mais resultados.

— usar o seguinte comando

Dado que um gráfico regular aleatório é um expansor whp (siga a referência fornecida na documentação do código MATLAB vinculada abaixo), uma vez eu usei o seguinte:

http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/29786-random-regular-generator/content/randRegGraph/createRandRegGraph.m

— Hoda
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