O comprimento da menor cadeia co-prime entre dois inteiros

Considere a seguinte declaração:

para qualquer $a < b \in \mathbb{N}$ , um dos seguintes itens é válido:

$\gcd(a,b) = 1$ .

existe um tal que . $a < x < b$ $\gcd(a,x) = \gcd(x,b) = 1$

há tal que . $a < x < y < b$ $\gcd(a,x) = \gcd(x,y) = \gcd(y,b) = 1$

Esta afirmação é verdadeira?

Motivação:

Eu encontrei uma variante desse problema em uma das competições recentes de algoritmos.

Considere o seguinte problema:

Entrada: dois inteiros e , onde . $a$ $b$ $a \lt b$

Saída: menor número modo que haja números inteiros modo que todos os números inteiros consecutivos na lista sejam co-primos: para . $l$ $a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_l < x_{l+1} = b$ $\gcd(x_i, x_{i+1}) = 1$ $i=0,\ldots, l$

Exemplos:

$a = 7, b = 13$ : , portanto . $\gcd(a,b) = 1$ $l = 0$
$a = 10, b = 12$ : , portanto . Seja a sequência . . $\gcd(a,b) = 2 \neq 1$ $l \geq 1$ $10, 11, 12$ $\gcd(10, 11) = 1, \gcd(11, 12) = 1$
$a = 2184, b = 2200$ : Não existe tal que . No entanto, podemos encontrar números inteiros que satisfazem esse problema. $a< x < b$ $\gcd(a,x)=\gcd(x,b)=1$ $2$

Existe um algoritmo de referência no qual os algoritmos são avaliados. Esse algoritmo assume que

Sempre existe um que satisfaz a condição. $l$
$l\leq 2$ .

Não vejo por que eles são verdadeiros.

Eu tenho um algoritmo de tempo polinomial que não assume nenhum deles. Não estou perdendo o desempenho assintótico comparado ao algoritmo de referência, mas poderia obter as constantes de desempenho muito mais baixas se eu pudesse entender e provar a validade das suposições.

number-theory

— DarthShader
fonte

Que seja sempre solucionável pode ser visto considerando todos os números inteiros entre e ( , , ..). Isso mostra .

A

$A$

B

$B$

N_{1} = A + 1

$N_1=A+1$

N_{2} = A + 2

$N_2=A+2$

L \leq B - A - 1

$L \leq B-A-1$

— Polkjh

polkjh: isso parece funcionar, dado que GCD (n, n + 1) = 1 (o que é verdade).

— DarthShader

Por favor, use o suporte de látex disponível neste site.

— Aryabhata

Relacionado: en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s%E2%80%93Woods_number

— Aryabhata

Eu acho que você pode ter mais sorte em matemática .

— Kaveh

A conjectura parece estar aberta. É declarado como Conjectura 3 em um artigo da Dowe . Dowe mostra que a conjectura de Goldbach implica esse e menciona que Alan Woods mostrou em sua tese de doutorado que é limitado. Talvez a prova recente da conjectura ímpar de Goldbach também implique um limite definido e pequeno. $\ell \leq 2$ $\ell \leq 3$ $\ell$

Se então é um número de Erdős-Woods. Em particular, se então e devem ser números Erdős-Woods. A059756 lista os primeiros números de Erdős-Woods. Embora todos os números dessa lista sejam pares, também existem números ímpares de Erdős-Woods, alguns dos quais estão listados em A111042 . Os menores valores de correspondente a determinadas diferenças estão listados em A059757 . Embora essa lista não esteja aumentando, parece que os números estão crescendo muito rapidamente. Qualquer contraexemplo para seria tal que e $\ell > 1$ $b-a$ $\ell > 2$ $b-a$ $b-a-1$ $a$ $\ell \leq 2$ $b-a$ $b-a-1$ são números de Erdős-Woods e, em particular, (por A059756). Isso sugere (mas não prova) que esse contra-exemplo será enorme e, para todos os efeitos práticos, podemos assumir que . $b-a > 430$ $\ell \leq 2$

— Yuval Filmus
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