A linguagem da representação binária de quadrados perfeitos é regular?

Vamos denotar a representação binária de um número inteiro . Deixe . $\mbox{bin}(n)$ $n$ $L = \{ \mbox{bin}(n^2) \mid n \in \mathbb{N} \}$

é uma linguagem comum? $L$

Acho que se pode provar que não é regular usando o lema de bombeamento, mas não sei como usá-lo aqui. $L$

formal-languages regular-languages

— Pål GD
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você pode usar: [wikipedia] en.wikipedia.org/wiki/Pumping_lemma_for_regular_languages

— Fayez Abdlrazaq Deab

Uma pergunta interessante. Embora pareça que a linguagem não deva ser regular, deve-se notar que a linguagem das representações binárias do módulo de resíduos quadráticos de potência 2 é regular.

— Karolis Juodelė

math.stackexchange.com/questions/380411/… alguém já perguntou aqui o mesmo e inclui uma resposta provisória.

— Alejandro Sazo 5/05

Existem outros métodos para mostrar que um idioma não é regular (consulte cs.stackexchange.com/questions/1031/… ). Eu acho que usaria o teorema de Myhill-Nerode.

— AProgrammer 5/05

Começamos com um lema.

Lema. Seja . Se é um quadrado, então . $a>b \geq 4$ $2^a+2^b+1$ $a \geq 2b-3$

Prova. Seja . Claramente deve ser ímpar, diga . Então , e assim . Se é par, então é ímpar e, portanto, para ímpar e, portanto, e então . Se é ímpar, então necessariamente para algum ímpar e, portanto, $2^a+2^b+1 = x^2$ $x$ $x = 2y+1$ $x^2 = 4y^2 + 4y + 1$ $(y+1)y = y^2+y = 2^{a-2} + 2^{b-2} = 2^{b-2}(2^{a-b}+1)$ $y$ $y+1$ $y = 2^{b-2}z$ $z$ $2^{a-b}+1 = (2^{b-2}z+1)z \geq 2^{b-2}+1$ $a \geq 2b-2$ $y$ $y+1 = 2^{b-2}z$ $z$ $2^{a-b}+1 = z(2^{b-2}z-1) \geq 2^{b-2}-1 = 2^{b-3} + 1 + (2^{b-3}-2)$ . Desde , podemos concluir que . $b \geq 4$ $a \geq 2b-3$ $\square$

Seja . De acordo com o lema, todas as palavras em têm a forma com . Além disso, como , para todos os , . $L' = L \cap 10^*10^*0001$ $L'$ $10^{a-b-1}10^{b-1}1$ $a-b-1 \geq (b-1)-3$ $2^{2c} + 2^{c+1} + 1 = (2^c+1)^2$ $c \geq 3$ $10^{c-2}10^c1 \in L'$

Se é regular, então também é , digamos que seu DFA mínimo tenha estados. Considere a palavra e marque a substring . O lema de bombeamento estendido mostra que, para cerca de , para todos os . No entanto, de acordo com nosso lema, para todos os , devemos ter e, portanto, , o que é falso para . $L$ $L'$ $p$ $10^{p-2}10^p1 \in L'$ $0^p$ $0 < q \leq p$ $10^{p-2}10^{p+q(t-1)}1 \in L'$ $t \geq 0$ $t$ $p-2 \geq p+q(t-1)-3$ $1 \geq q(t-1)$ $t \geq 3$

— Yuval Filmus
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