Exemplo de uma linguagem livre de contexto que, no entanto, PODE ser bombeada?

Portanto, basicamente L satisfaz as condições do lema de bombeamento para CFLs, mas não é uma CFL (isso é possível de acordo com a definição do lema).

formal-languages context-free pumping-lemma

— user2329564
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Esta é uma pergunta de lição de casa ou você está apenas curioso?

— Yuval Filmus

Este não é um dever de casa, mas espero vê-lo no exame (apenas um palpite, conhecendo meu professor). E eu sou sempre curioso :)

— user2329564

Tivemos uma pergunta semelhante, mas para idiomas regulares . O mesmo tipo de construção se aplica: pegue um símbolo especial

$

$\$$ e considere

$ K \cup {$^{k} ∣ k \neq 1} {a, b}^{*}

$\$K \cup \{ \$^k \mid k \neq 1\}\{a,b\}^*$ para uma linguagem desagradável

K \subseteq {a, b}^{*}

$K\subseteq \{a,b\}^*$ .

— Hendrik Jan

Respostas:

O exemplo clássico é . Wise mostra em seu artigo Um forte lema de bombeamento para linguagens sem contexto que nem o lema de Bar-Hillel nem o teorema de Parikh (afirmando que o conjunto de comprimentos de palavras em uma linguagem sem contexto é semi-linear) podem ser usados para provar que não é livre de contexto. Outros truques como cruzar com um idioma comum também não ajudam. (O lema de Ogden, uma generalização do lema de bombeamento de Bar-Hillel, prova que $L = \{ a^i b^j c^k : i,j,k \text{ all different} \}$ $L$ $L$ Ele também fornece um lema de bombeamento alternativo equivalente à ausência de contexto (para linguagens computáveis) e o utiliza para provar que não é livre de contexto. $L$

O lema de bombeamento de Wise afirma que uma linguagem é livre de contexto se e somente se houver uma gramática (irrestrita) gerando e um número inteiro modo que sempre que gere uma "forma sentencial" (para que possam incluir não terminais) de comprimento , podemos escrever onde não estão vazios, $L$ $G$ $L$ $k$ $G$ $s$ $s$ $|s| > k$ $s = uvxyz$ $x,vy$ $|vxy| \leq k$ , E não é um produto não-terminal de tal forma que gera e gera tanto e . $A$ $G$ $uAz$ $A$ $vAy$ $x$

Ao aplicar repetidamente a condição no lema, o Wise pode provar que não é livre de contexto, mas os detalhes são um pouco complicados. Ele também fornece uma condição equivalente ainda mais complicada e a usa para provar que a linguagem não pode ser escrita como uma interseção finita de linguagens livres de contexto. $L$ $\{ a^n b a^{nm} : n,m > 0 \}$

Se você não consegue acessar o artigo de Wise (está atrás de um paywall), há uma versão datilografada que saiu como um relatório técnico da universidade de Indiana.

Uma linguagem não isenta de contexto que satisfaça a condição de bombeamento do lema de Ogden é dada por Johnsonbaugh e Miller, Converse de lemas de bombeamento , e atribuída a Boasson e Horvath, em idiomas que satisfazem o lema de Ogden . O idioma em questão é Podemos escrever

\begin{aligned} L^{'} & = ⋃_{n \geq 1} (e^{+} a^{+} d^{+})^{n} (e^{+} b^{+} d^{+})^{n} (e^{+} c^{+} d^{+})^{n} \\ \cup (a + b + c + d) Σ^{*} \cup Σ^{*} (a + b + c + e) \cup Σ^{*} (e d + d (a + b + c) + (a + b + c) e) Σ^{*} . \end{aligned}

$\begin{align*} L' &= \bigcup_{n \geq 1} (e^+a^+d^+)^n(e^+b^+d^+)^n(e^+c^+d^+)^n \\ &\cup (a+b+c+d)\Sigma^* \cup \Sigma^*(a+b+c+e) \cup \Sigma^*(ed+d(a+b+c)+(a+b+c)e)\Sigma^*. \end{align*}$

, correspondendo às duas linhas diferentes. Observe que

e que

é regular. O lema de Ogden pode ser usado para provar que

não é livre de contexto e, portanto, também não é

, mas não pode ser usadodiretamentepara mostrar que

não é livre de contexto.

L^{'} = L_{1} \cup L_{2}

$L' = L_1 \cup L_2$

L_{1} \cap L_{2} = \emptyset

$L_1 \cap L_2 = \emptyset$

L_{2}

$L_2$

L_{1}

$L_1$

L^{'}

$L'$

L^{'}

$L'$

— Yuval Filmus
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Não é necessário para ser pelo menos uma produção parecido com isto: A -> sententialForm1 A sententialForm2 para qualquer bombeamento para ser possível

— user2329564

Bem mais geral: não é necessário que um B não terminal faça parte de uma forma sentencial derivável de A, de modo que B-> sententialForm1.B.sententialfrom2 seja uma produção de G. Caso contrário, como seria certo que uma palavra de um comprimento arbitrário pode ser bombeado de A.

— user2329564 15/13

Não vejo por que, temos uma produção

, que corresponde ao bombeamento. Por exemplo, a recuperar imediatamente o bombeamento lema desde

A \Rightarrow^{+} v A y

$A \Rightarrow^+ vAy$

S \Rightarrow^{*} u A z \Rightarrow^{*} u v^{i} A y^{i} z \Rightarrow^{*} u v^{i} x y^{i} z

$S \Rightarrow^* uAz \Rightarrow^* uv^iAy^iz \Rightarrow^* uv^ixy^iz$

— Yuval Filmus 15/05

Parece uma boa adição à nossa referência .

— Rafael

Outra coisa que falta é o fechamento em "mapeamentos inversos de G / M ", consulte planetmath.org/generalizedsequentialmachine . Talvez eu os adicione em algum momento.

— Yuval Filmus

Ainda mais simples: . Pode sempre bombear os ; A interseção com o regular fornece um não-CFL (e isso pode ser provado pelo bombeamento do lema). $\{a^m b^n c^n d^n\colon m \ge 1, n \ge 1\}$ $a$ $\mathcal{L}(a b^+ c^+ d^+)$

— vonbrand
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Esta será uma boa adição para a terceira lição de casa ... muahaha

— Renato Sanhueza

Eu não acho que isso esteja certo. Se o idioma começar com apenas um

, se você tentar bombear o

, deverá considerar o fato de que

também deve estar no idioma.

a

$a$

a

$a$

a^{0}

$a^0$

— MCT

Para expandir o comentário do MCT: considere a palavra

; escolha

. Então, para

não é na língua, uma vez que não começar com um a, de modo que o lema não se sustenta.

a b^{p} c^{p} d^{p}

$ab^pc^pd^p$

v = a

$v=a$

u = w = x = ε

$u=w=x=\varepsilon$

y = b^{p} c^{p} d^{p}

$y=b^pc^pd^p$

i = 0

$i=0$

u v^{i} w x^{i} y

$uv^iwx^iy$

— Potestity

A simple language is $\{a b^n c^n d^n \colon n \ge 1\} \cup \mathcal{L}(a a^+ b^+ c^+ d^+)$ . Intersect with $\mathcal{L}(a b^+ c^+ d^+)$ to get a clearly non-CFL, but you can always pump the $a$ , and mimetize the equal-length-ness in the sea of ${}^+$ .

— vonbrand
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Wise's example is (apparently) immune to these techniques as well, or so he claims.

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus, so it seems. But my example is immune to professors doubting you understood Wise's paper, or wanting a complete proof that it isn't a CFL in the 2-hour limit of the exam ;-)

— vonbrand