Expresse operações lógicas booleanas na programação linear inteira zero (um)

Eu tenho um programa linear inteiro (ILP) com algumas variáveis $x_i$ que se destinam a representar valores booleanos. Os $x_i$ são restritos a serem inteiros e a conter 0 ou 1 ( $0 \le x_i \le 1$ ).

Eu quero expressar operações booleanas nessas variáveis ​​com valor de 1/1, usando restrições lineares. Como posso fazer isso?

Mais especificamente, eu quero definir $y_1 = x_1 \land x_2$ (booleano AND), $y_2 = x_1 \lor x_2$ (booleano OR), e $y_3 = \neg x_1$ (boolean NOT). Estou usando a interpretação óbvia de 0/1 como valores booleanos: 0 = false, 1 = true. Como faço para escrever restrições ILP para garantir que o $y_i$ 's são relacionados à $x_i$ ' s como desejado?

(Isso pode ser visto como uma redução do CircuitSAT para o ILP ou uma maneira de expressar o SAT como um ILP, mas aqui quero ver uma maneira explícita de codificar as operações lógicas mostradas acima.)

AND lógico: use as restrições lineares $y_1 \ge x_1 + x_2 - 1$ , $y_1 \le x_1$ , $y_1 \le x_2$ , $0 \le y_1 \le 1$ , em que $y_1$ é restrito como um número inteiro. Isso reforça o relacionamento desejado. (Muito legal que você pode fazê-lo com apenas desigualdades lineares , hein?)

OR lógico: use as restrições lineares $y_2 \le x_1 + x_2$ , $y_2 \ge x_1$ , $y_2 \ge x_2$ , $0 \le y_2 \le 1$ , em que $y_2$ é restrito para ser um número inteiro.

Lógico NÃO: Use $y_3 = 1-x_1$ .

Implicação lógica: Para expressar $y_4 = (x_1 \Rightarrow x_2)$ (ou seja, $y_4 = \neg x_1 \lor x_2$ ), podemos adaptar a construção para OR lógico. Em particular, use as restrições lineares $y_4 \le 1-x_1 + x_2$ , $y_4 \ge 1-x_1$ , $y_4 \ge x_2$ , $0 \le y_4 \le 1$ , onde$y_4$ é constrangida a ser um número inteiro.

Implicação lógica forçada: Para expressar que $x_1 \Rightarrow x_2$ deve se manter, basta usar a restrição linear $x_1 \le x_2$ (supondo que $x_1$ e $x_2$ já estejam restritos a valores booleanos).

XOR: Para expressar $y_5 = x_1 \oplus x_2$ (a exclusiva ou-de $x_1$ e $x_2$ ), utilizar as desigualdades lineares $y_5 \le x_1 + x_2$ , $y_5 \ge x_1-x_2$ , $y_5 \ge x_2-x_1$ , $y_5 \le 2-x_1-x_2$ , $0 \le y_5 \le 1$ , onde$y_5$ é restrito a ser um número inteiro.

E, como bônus, mais uma técnica que geralmente ajuda na formulação de problemas que contêm uma mistura de variáveis ​​zero-um (booleanas) e variáveis ​​inteiras:

Transmitir para booleano (versão 1): suponha que você tenha uma variável inteira $x$ e queira definir $y$ para que $y=1$ se $x \ne 0$ e $y=0$ se $x=0$ . Se você souber adicionalmente que $0 \le x \le U$ , poderá usar as desigualdades lineares $0 \le y \le 1$ , $y \le x$ , $x \le Uy$ ; no entanto, isso só funciona se você souber um limite superior e inferior no$x$ . Ou, se você sabe disso$|x| \le U$ (ou seja,$-U \le x \le U$ ) para alguma constante$U$ , você pode usar o método descritoaqui. Isso é aplicável apenas se você souber um limite superior em$|x|$.

Transmitir para booleano (versão 2): Vamos considerar o mesmo objetivo, mas agora não sabemos um limite superior em $x$ . No entanto, suponha que sabemos que $x \ge 0$ . Veja como você pode expressar essa restrição em um sistema linear. Primeiro, introduza uma nova variável inteira $t$ . Adicione desigualdades $0 \le y \le 1$ , $y \le x$ , $t=x-y$ . Em seguida, escolha a função objetivo para minimizar $t$ . Isso funciona apenas se você ainda não possui uma função objetiva. Se você tem $n$variáveis ​​inteiras não negativas $x_1,\dots,x_n$ e você deseja converter todas elas em booleanos, para que$y_i=1$ se$x_i\ge 1$ e$y_i=0$ se$x_i=0$ , você pode introduzir$n$ variáveis$t_1,\dots,t_n$ com desigualdades$0 \le y_i \le 1$ ,$y_i \le x_i$, $t_i=x_i-y_i$ e defina a função objetivo para minimizar $t_1+\dots + t_n$ . Novamente, isso só funciona e nada mais precisa definir uma função objetiva (se, além dos lançamentos para booleano, você planejasse apenas verificar a viabilidade do ILP resultante, não tentar minimizar / maximizar alguma função das variáveis).

Para alguns problemas práticos excelentes e exemplos trabalhados, eu recomendo a Formulação de Programas Lineares Inteiros: A Rogues 'Gallery .

A relação lógica AND pode ser modelada em uma restrição de intervalo, em vez de três restrições (como na outra solução). Portanto, em vez da três restrições ele pode ser escrito usando a restrição de intervalo único 0 ≤ x 1 + x 2 - 2 y 1

Para NOT, essa melhoria não está disponível.

Em geral, para ( n -WAY E) a restrição será: 0 ≤ Σ x i - n y ≤ n - $y=x_1 \land x_2 \land \dots \land x_n$$n$ Da mesma forma para OR: 0 ≤ n y - ∑ x i ≤ n -

Encontrei uma solução mais curta para XOR y = x1⊕x2 (xey são binários 0, 1)

apenas uma linha: x1 + x2 - 2 * z = y (z é qualquer número inteiro)