Construção da equipe no gráfico tripartido

O governo quer criar uma equipe com um alquimista , um construtor e um cientista da computação .

Para ter uma boa cooperação, é importante que os três membros da equipe se gostem.

Portanto, o governo reúne $k$candidatos de cada profissão e cria seu gráfico de "gosto". Este é um gráfico tripartido, onde há uma aresta entre$a$ e $b$ iff $a$ curtidas $b$.

(Observe que a relação "like" é simétrica, mas não transitiva, ou seja: se $a$ curtidas $b$ então $b$ curtidas $a$, mas se $a$ curtidas $b$ e $b$ curtidas $c$, então não necessariamente $a$ curtidas $c$)

Sempre é possível criar uma equipe? Claro que não. Por exemplo, é possível que nenhum alquimista goste de qualquer construtor.

No entanto, suponha que o gráfico "gostar" tenha a seguinte propriedade: em cada grupo de 3 alquimistas e 3 construtores, há pelo menos um único par alquimista-construtor que se gosta; O mesmo vale para alquimistas-computadores e construtores-computadores .

Dada essa propriedade, é sempre possível criar uma equipe em que os três membros se gostem? Nesse caso, qual é o número mínimo de candidatos de cada tipo ($k$) que o governo terá que reunir?

Gostaria de encontrar k e provar que é o mínimo.

Uma sub-questão possivelmente relacionada é: em um grupo de $k$ alquimistas e $k$construtores, qual é o número mínimo de pares que se gostam? Para$k=3$, pela suposição da pergunta, esse número é 1. Que tal $k>3$?

Uma terceira pergunta é: qual é o nome desse tipo de problema?

O resumo até agora (como CW).

Yuval Filmus reformulou a questão em termos mais convencionais, como

Qual é o mínimo $k$ tal que para cada coloração vermelha / azul das bordas $K_{k,k,k}$ (o gráfico completo em três partes com $k$ vértices em cada partição) existe um triângulo vermelho ou um azul $K_{3,3}$?

Erel provou que o limite inferior da $k$ é pelo menos 5 e, em seguida, usando uma formulação SAT que $k \ge 8$.

frafl mostrou que o limite superior $k$ é no máximo 15. Aravind esboçou um bom argumento para um melhor limite superior.

Aqui está uma forma mais detalhada do argumento de Aravind.

Se um vértice $u$ em partição $A$ está conectado em vermelho a 3 vértices $S$ em partição $B$ e 3 vértices $T$ em partição $C$, então existe um triângulo vermelho envolvendo $u$ e um vértice de cada um $S$ e $T$, ou então $S\cup T$ induz um azul $K_{3,3}$. Portanto, nenhum vértice pode ter mais de 2 vizinhos conectados em vermelho em ambas as partições vizinhas.

Portanto, todo vértice tem pelo menos $k-2$vizinhos conectados em azul em pelo menos uma de suas partições vizinhas. Deixei$S$ ser os vértices em $A$ que têm pelo menos $k-2$ vizinhos conectados em azul $B$e $T$ ser esses vértices em $A$ que têm pelo menos $k-2$ vizinhos conectados em azul $C$; Observe que$A = S\cup T$. E se$S\cap T$ não estiver vazio, a troca de cores gera uma contradição, pois $k\ge 5$. Então assuma$S$ e $T$são disjuntos. De fato, cada vértice em$S$ deve estar conectado em azul a no máximo 2 vértices $C$ (tão vermelho conectado a pelo menos $k-2$ vértices em $C$) e cada vértice em $T$ deve estar conectado em azul a no máximo 2 vértices $B$ (e vermelho conectado a pelo menos $k-2$ vértices em $C$)

Agora $k \ge 6$ portanto, sem perda de generalidade, suponha que $S$ contém um subconjunto $S'$com pelo menos 3 vértices. Cada um deles está conectado a azul pelo menos$k-2$ vértices em $B$, então esses bairros devem ter um cruzamento comum $U$ com pelo menos $k-6$vértices. E se$k\ge 9$, então $U$ contém pelo menos 3 vértices, então $S'\cup U$ induz um azul $K_{3,3}$.

Isto mostra que $k\ge 9$ é suficiente para sempre atender às condições, e 9 é, portanto, um limite superior para a quantidade desejada.

O que resta é demonstrar um contra-exemplo com $k=8$ (que mostraria que a quantidade desejada é 9) ou para mostrar que $k=8$ é sempre o suficiente para garantir um triângulo vermelho ou azul $K_{3,3}$ (o que mostraria 8).

Um limite superior na primeira pergunta é $k\leq 15$: Pegue um conjunto de $5$ $a$s $A=\{a_1,\dots,a_5\}$, $5$ $b$s $B_1=\{b_1,\dots,b_5\}$ e $5$ $c$s $C_1=\{c_1,\dots,c_5\}$. Sabemos que no máximo 2 dos$a$s não tem um vizinho entre os $B$s, caso contrário, encontramos um complemento de um $K_{3,3}$, que é proibido. O mesmo vale para$a$areia $c$s. Portanto, deve haver um$a_1'$que tem um vizinho entre os dois conjuntos. Chamamos esses vizinhos$b_1'$ e $c_1'$ respectivamente.

Agora consertamos o conjunto $A$ e considere $10$ pares adicionais de conjuntos de $b$areia $c$s $(B_i,C_i)_{i\in\{2,\dots,11\}}$ com

Agora pelo menos $3$ pares de conjuntos concordam com o mesmo $a$ pelo princípio pigeonhole, ou seja, existe uma $a_l\in A$ e diferente em pares $m_1,m_2,m_3 \in \{1,\dots,11\}$ de tal modo que $a_l = a_{m_1}' = a_{m_2}' = a_{m_3}'$. Agora$b_{m_p}'$ e $c_{m_p}'$ são vizinhos de $a_l$ para $p\in\{1,\dots,3\}$. Assim, para alguns$p,p'\in \{1,2,3\}$ o conjunto $\{a_l,b_{m_p}',c_{m_{p'}}'\}$ induz um triângulo de amigos.

Após o comentário de András Salamon, decidi colocar minha pergunta como um problema de SAT. Criei um aplicativo Javascript que tem como entrada o número de candidatos por profissão ($k$) e gera uma fórmula CNF que define um gráfico com k candidatos por profissão, que contém uma aresta entre cada dois triplos, mas NÃO contém um triângulo de candidatos.

Se essa fórmula for satisfeita, significa que $k$é pequeno demais para garantir que sempre haja uma equipe viável. Se essa fórmula não for saturada, significa que$k$ é grande o suficiente, pois sempre existe uma equipe viável.

Criei arquivos de entrada MiniSAT para $k=3..8$. Para$k<=7$, O MiniSAT retornou em menos de um segundo, dizendo que é satisfatório (ou seja, k é muito pequeno). Aqui está a tarefa MiniSAT encontrada para$k=7$. Isso significa que 8 é um limite inferior ao número de candidatos necessários (melhor que o limite inferior de 7 que encontrei na resposta anterior).

Para $k=8$, Iniciei o MiniSAT há alguns minutos e ele ainda está em execução. O arquivo de entrada contém 192 variáveis ​​e cláusulas 9920. Não sei quanto tempo levará para terminar.

Com base na lentidão da computação (e assumindo que não tenho um bug na implementação), conjecturo que 8 ou no máximo 9 candidatos são suficientes. Mas ainda espero ver o que o MiniSAT diz.

Aqui está a saída atual:

============================[ Problem Statistics ]=============================
|                                                                             |
|  Number of variables:           192                                         |
|  Number of clauses:            9920                                         |
|  Parse time:                   0.01 s                                       |
|  Simplification time:          0.03 s                                       |
|                                                                             |
============================[ Search Statistics ]==============================
| Conflicts |          ORIGINAL         |          LEARNT          | Progress |
|           |    Vars  Clauses Literals |    Limit  Clauses Lit/Cl |          |
===============================================================================
|       100 |     192     9920    86208 |     3637      100     16 |  0.003 % |
|       250 |     192     9920    86208 |     4001      250     22 |  0.003 % |
|       475 |     192     9920    86208 |     4401      475     25 |  0.003 % |
|       812 |     192     9920    86208 |     4841      812     29 |  0.003 % |
|      1318 |     192     9920    86208 |     5325     1318     31 |  0.003 % |
|      2077 |     192     9920    86208 |     5857     2077     32 |  0.003 % |
|      3216 |     192     9920    86208 |     6443     3216     35 |  0.003 % |
|      4924 |     192     9920    86208 |     7088     4924     34 |  0.003 % |
|      7486 |     192     9920    86208 |     7796     3907     35 |  0.003 % |
|     11330 |     192     9920    86208 |     8576     7751     36 |  0.003 % |
|     17096 |     192     9920    86208 |     9434     4866     39 |  0.003 % |
|     25745 |     192     9920    86208 |    10377     8762     36 |  0.003 % |
|     38719 |     192     9920    86208 |    11415     6081     39 |  0.003 % |
|     58180 |     192     9920    86208 |    12557     8338     35 |  0.003 % |
|     87372 |     192     9920    86208 |    13812    12272     37 |  0.003 % |
|    131161 |     192     9920    86208 |    15194     7495     36 |  0.003 % |
|    196845 |     192     9920    86208 |    16713    12107     38 |  0.003 % |
|    295371 |     192     9920    86208 |    18384     9989     32 |  0.003 % |
|    443160 |     192     9920    86208 |    20223    10152     40 |  0.003 % |
|    664843 |     192     9920    86208 |    22245    18854     37 |  0.003 % |
|    997368 |     192     9920    86208 |    24470    15595     40 |  0.003 % |
|   1496156 |     192     9920    86208 |    26917    15102     34 |  0.003 % |
|   2244338 |     192     9920    86208 |    29608    19091     42 |  0.003 % |
|   3366612 |     192     9920    86208 |    32569    16905     35 |  0.003 % |
|   5050023 |     192     9920    86208 |    35826    21640     37 |  0.003 % |
|   7575139 |     192     9920    86208 |    39409    34856     39 |  0.003 % |
|  11362814 |     192     9920    86208 |    43350    20735     38 |  0.003 % |
|  17044326 |     192     9920    86208 |    47685    35456     42 |  0.003 % |
|  25566595 |     192     9920    86208 |    52453    43639     34 |  0.003 % |
|  38349998 |     192     9920    86208 |    57699    48290     42 |  0.003 % |
|  57525103 |     192     9920    86208 |    63469    22810     40 |  0.003 % |
|  86287761 |     192     9920    86208 |    69816    55424     36 |  0.003 % |
| 129431749 |     192     9920    86208 |    76797    69548     43 |  0.003 % |

Após 4 horas adicionais, ainda não há resultado:

| 194147731 |     192     9920    86208 |    84477    67509     38 |  0.003 % |
| 291221704 |     192     9920    86208 |    92925    61375     34 |  0.003 % |

Limite superior de 9:

Estou usando a caracterização do Yuval Filmus.

Suponha que um vértice em A tenha pelo menos três vizinhos vermelhos em B e C. Em seguida, existe uma aresta vermelha entre os dois conjuntos de vizinhos, o que resulta em um triângulo vermelho ou um azul $K_{3,3}$.

Portanto, se k> = 6, obtemos que existem três vértices em A, cada um dos quais tem no máximo 2 vizinhos vermelhos em B (wlog-in B). Portanto, esses três vértices devem ter pelo menos k-6 vizinhos azuis em comum. E se$k \geq 9$, nós temos um azul $K_{3,3}$.

Como limite inferior, aqui está uma prova de que 5 candidatos de cada profissão não são suficientes. Suponha que haja$n=5$ candidatos numerados $i=0..4$, com as seguintes relações:

• Alquimista $i$ gosta do construtor $i$
• Construtor $i$ gosta de Computerist $i$
• Computerist $i$ gosta de alquimista $(i+1)\ mod\ n$.

Pelo princípio do pombo, em cada grupo de 3 alquimistas e 3 construtores, há pelo menos 1 par que se gosta (o mesmo vale para as outras profissões). No entanto, o gráfico inteiro é um único círculo de comprimento 15 e não há círculo de comprimento 3.

A construção pode ser estendida por $n=6$, adicionando o seguinte círculo grande:

• $A[i]$ curtidas $B[(i+1)\ mod\ n]$
• $B[i]$ curtidas $C[(i+1)\ mod\ n]$
• $C[i]$ curtidas $A[(i+2)\ mod\ n]$

Infelizmente, a construção não funciona para $n>6$. Ainda existe uma grande lacuna entre esse limite inferior e o limite superior de frafl de 15.