Cálculo da função de castor ocupado

A função de turnos máximos do castor ocupado, , possui valores conhecidos para . Existe alguma razão estrutural básica por que é inconcebível encontrarmos para ? O que há de tão diferente em que ? Ou ? Em algum lugar ao longo do caminho, deve haver alguma diferença fundamental; caso contrário, seria, em princípio, computável para todos os , então o que exatamente $S(n)$ $n\leq4$ $S(n)$ $n>4$ $n=4$ $n=5$ $n=6$ $S(n)$ $n$ é essa diferença?

computability busy-beaver

— PeteyPabPro
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Respostas:

A razão pela qual nenhum programa pode calcular é que, se você soubesse o que é, poderia decidir o problema da interrupção - saberia quando parar de esperar. Por outro lado, para cada existe um programa que calcula para todos os - apenas usa uma tabela. $S(n)$ $S(n)$ $m$ $S(n)$ $n \leq m$

Se fosse possível provar o valor de para todos os (isto é, para todos , poderíamos provar para alguns ), poderíamos calcular pesquisando todas as provas ( isso pressupõe que nosso sistema de provas é válido). Portanto, para cada sistema de prova, existe um valor mínimo de para o qual você não pode provar que para qualquer . $S(n)$ $n$ $n$ $S(n) = \alpha$ $\alpha$ $S(n)$ $n$ $S(n) = \alpha$ $\alpha$

Finalmente, a razão pela qual conhecemos é provavelmente porque é um número muito pequeno. O número é um pouco maior e, portanto, as coisas ficam mais complicadas. Não existe uma razão profunda para sabermos mas não , assim como não há uma razão profunda para sabermos o número Ramsey mas não (embora os números de Ramsey sejam naturalmente computáveis) . $S(4)$ $4$ $5$ $S(4)$ $S(5)$ $R(4)$ $R(5)$

— Yuval Filmus
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Obrigado. O parágrafo do meio era essencialmente o que eu estava pensando (e é uma prova de Godel, correto?). Portanto, na verdade, pode ser que

tenha uma prova em nosso sistema formal, mas

não.

S (4)

$S(4)$

S (5)

$S(5)$

— PeteyPabPro

Presumivelmente. Se

é improvável, mas é verdade que

também é improvável e, portanto, temos uma afirmação que não pode ser provada nem refutada.

S (n) = " S (n) "

$S(n)=\text{"}S(n)\text{"}$

S (n) \neq " S (n) "

$S(n)\neq\text{"}S(n)\text{"}$

— Yuval Filmus

Você ainda não explicou realmente por que podemos ter tanta certeza de que S (4) está correto, enquanto S (5) ou superior nunca podemos saber. É porque não somos 100% sobre S (4), mas apenas "quase" com certeza?

— W

Temos 100% de certeza sobre S (4). Eu não acho que haja qualquer razão profunda por trás da nossa ignorância em relação a S (5). É apenas o limite atual de nosso conhecimento.

— Yuval Filmus

Acredito que exista um sistema de prova realmente forte e uma máquina de turing de 6 estados e 2 cores, de modo que possa ser comprovado que não há provas nesse sistema de que nunca parará e nunca antes de qualquer algoritmo que possa ser provado nesse sistema dentro de um googol caracteres para, eventualmente, parar paradas.

— Timothy

Scott Aaronson discute isso aqui . Ele e seu co-autor encontram um limite superior explícito em para o qual pode ser computado. $n$ $S(n)$

— PeteyPabPro
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Você poderia citar parte relevante?

— Mal

outro ângulo, com um esboço informal de uma resposta, que levaria muito tempo para se aprofundar tecnicamente em pesquisas adicionais (ou seja, é basicamente um programa de pesquisa): há algumas evidências preliminares de que o limite do que é computável no Busy Beaver A função é uma medida da complexidade do algoritmo, com duas refs abaixo dessa dica nessa direção. [1] [2] aproximadamente, pequenas TMs com muito poucos estados não podem realizar "tanto" ou "comportamento tão sofisticado" quanto algoritmos mais complexos com mais estados. portanto, o cálculo também parece ter uma ligação profunda com a complexidade de Kolmogorov . [3] Outra maneira de ver isso é que o que é conhecido / computável sobre a função Busy Beaver também coincide estreitamente com o estado da arte do teorema automatizado. provando, que (semelhante ao avanço tecnológico) é uma fronteira que avança continuamente com base em pesquisas em matemática e ciência da computação.

[1] Problema de castor ocupado, um novo ataque de milênio , van Heuveln et al.

[2] Pequenas máquinas de Turing e competição generalizada de castores ocupados , Michel

[3] No tempo de execução dos problemas mais curtos , Batfai

— vzn
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