Atribuição de número de

Dados números modo que há uma atribuição dos números que é uma permutação de modo que $k$ $A_1 \leq A_2 \leq ... \leq A_k$ $\sum\limits_{i=1}^k A_i = k(2k + 1)$ $i_1, i_2, ... , i_{2k}$ $1, 2, ... , 2k$

$i_1 + i_2 \leq A_1\\ i_3 + i_4 \leq A_2\\ .\\.\\.\\ i_{2k-1} + i_{2k} \leq A_k$

Não consigo encontrar um algoritmo eficiente e que resolva esse problema. Parece ser um problema combinatório. Não foi possível encontrar um problema semelhante ao NP-Complete. Esse problema parece um problema NP-Complete conhecido ou pode ser resolvido com um algoritmo polinomial?

np-complete decision-problem

— gprime
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Você fez algum progresso no problema?

— Yuval Filmus

Eu esqueci de mencionar que

A_{1} \leq A_{2} \leq . . . \leq A_{k}

$A_1 \leq A_2 \leq ... \leq A_k$

— gprime

Problema relacionado , também sem uma resposta satisfatória. (Pode não estar claro à primeira vista como eles estão relacionados, mas se , o problema é equivalente a encontrar uma permutação de modo que .

K = 2 N

$K=2N$

1 \dots 2 N

$1 \ldots 2N$

i_{2 a - 1} - i_{2 a} = A_{i}

$i_{2a-1} - i_{2a} = A_i$

— Peter Shor

Respostas:

Esse problema é fortemente NP-completo.

Suponha que todos os sejam ímpares. Então sabemos que, como é ímpar, um de e é par e o outro é ímpar. Podemos assumir que é ímpar e é par. Ao permitir e , podemos mostrar que isso é equivalente a pedindo duas permutações, e , dos números tais que . $A_j$ $i_{2j-1} + i_{2j} = A_j$ $i_{2j-1}$ $i_{2j}$ $i_{2j-1}$ $i_{2j}$ $\pi_j = \frac{1}{2}(i_{2j-1}+1)$ $\sigma_j = \frac{1}{2}(i_{2j})$ $\pi$ $\sigma$ $1 \ldots n$ $\pi_j + \sigma_j = \frac{1}{2}(A_j+1)$

Esse problema é conhecido por ser NP-completo; veja esse problema de história e este artigo de W. Yu, H. Hoogeveen e JK Lenstra mencionados na resposta.

— Peter Shor
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Aqui está uma dica para você começar: como a soma de todos os números de a é exatamente , uma solução é possível apenas se de fato , e assim por diante . Então, dado , sabemos , e assim por diante. Além disso, . $1$ $2k$ $k(2k+1)$ $i_1 + i_2 = A_1$ $i_3 + i_4 = A_2$ $i_1$ $i_2$ $3 \leq A_j \leq 4k-1$

— Yuval Filmus
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Então, como devo escolher para começar? Não estou vendo a solução. Mas obrigado pela propriedade

i_{1}

$i_1$

3 \leq A_{j} \leq 4 k - 1

$3 \leq A_j \leq 4k -1$

— gprime 29/05

Se o estiver classificado, saberemos , , e assim por diante. Esses critérios, juntamente com , são suficientes? Se estiverem, pode haver um algoritmo simples para esse problema.

A_{i}

$A_i$

3 \leq A_{1}

$3 \leq A_1$

10 \leq A_{1} + A_{2}

$10 \leq A_1 + A_2$

21 \leq A_{1} + A_{2} + A_{3}

$21 \leq A_1 + A_2 + A_3$

\sum_{i} A_{i} = k (2 k + 1)

$\sum_i A_i = k(2k+1)$

— quer

Sim, eles são classificados. Vou tentar usar isso ...

— Gprime

@PeterShor Você também deve considerar limites na direção oposta, ou seja, e assim por diante. Observando o problema de forma anedótica, parece que um algoritmo ganancioso simples deve descobrir soluções quando elas existem e falhar exatamente quando não existem - mas estou tendo problemas para provar isso.

4 n - 1 \geq A_{n}, 8 n - 6 \geq A_{n - 1} + A_{n}

$4n-1 \geq A_n, 8n-6 \geq A_{n-1}+A_{n}$

— torquestomp

@torquestomp: Você está levantando um bom argumento. De fato, os limites de uma direção também implicam os limites da outra, mas isso não é de todo óbvio à primeira vista. Eu olhei para um problema semelhante e não consegui descobrir um algoritmo simples (mas também me pareceu que o analógico desses critérios era realmente suficiente).

— quer

É um problema de correspondência e, portanto, pode ser resolvido usando o algoritmo de Edmond. Veja a Wikipédia

— Vai
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A idéia do Stackexchange é ter uma sessão de perguntas e respostas tão completa quanto razoavelmente possível. Você seria capaz de expandir sua resposta para ser mais do que apenas um link para a wikipedia?

— Luke Mathieson

Você pode elaborar? Não estou conseguindo ver como posso usar esses algoritmos para resolver minha pergunta.

— Gprime 31/05

Na verdade, para mim, parece um caso especial de 3 correspondências, que é NP-completo. Isso não significa que o problema dos OPs esteja NP-completo.

— quer

Poderia ser talvez uma correspondência bipartida? Vou dar uma olhada no 3-matching para ver se consigo descobrir. Obrigado!

— Gprime