É NP-difícil encher caixas com movimentos mínimos?

Existem $n$ caixas e $m$ tipo de bolas. O $i$ th bin tem rótulos $a_{i,j}$ para $1\leq j\leq m$ , que é o número esperado de bolas do tipo $j$ .

Você começa com $b_j$ bolas do tipo $j$ . Cada esfera de tipo $j$ tem peso $w_j$ , e deseja colocar as bolas dentro dos recipientes de tal modo que bin $i$ tem peso $c_i$ . Uma distribuição de bolas de tal forma que a condição anterior se mantém é chamada de solução viável.

Considere uma solução viável com $x_{i,j}$ bolas do tipo $j$ na posição $i$ , então o custo é $\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m |a_{i,j}-x_{i,j}|$. Queremos encontrar uma solução viável de custo mínimo.

Esse problema é claramente difícil para NP se não houver restrição em $\{w_j\}$ . O problema da soma do subconjunto reduz-se à existência de uma solução viável.

No entanto, se adicionarmos a condição que $w_j$ divide $w_{j+1}$ para cada $j$ , a redução da soma do subconjunto não funcionará mais, portanto, não está claro se o problema resultante permanece NP-difícil. A verificação da existência de uma solução viável leva apenas $O(n\,m)$ tempo (anexado ao final da pergunta), mas isso não nos fornece a solução viável de custo mínimo.

O problema tem uma formulação de programa inteiro equivalente. Dado $a_{i,j},c_i,b_j,w_j$ para $1\leq i\leq n,1\leq j\leq m$ :

$$\begin{align*} \text{Minimize:} & \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m |a_{i,j}-x_{i,j}| \\ \text{subject to:} & \sum_{j=1}^m x_{i,j}w_j = c_i \text{ for all } 1\leq i\leq n\\ & \sum_{i=1}^n x_{i,j} \leq b_j \text{ for all } 1\leq j \leq m\\ & x_{i,j}\geq 0 \text{ for all } 1 \leq i\leq n, 1\leq j \leq m\\ \end{align*}$$

Minha pergunta é,

O programa inteiro acima é NP-hard quando $w_j$ divide $w_{j+1}$ para todos os $j$ ?

Um algoritmo para decidir se existe uma solução viável em $O(n\,m)$ tempo:

Definir $w_{m+1}=w_m(\max_{j} c_j + 1)$ e $d_j = w_{j+1}/w_j$ . Seja $a\%b$ o remanescente quando $a$ for dividido por $b$ .

1. Se existir um $c_i$ que não seja divisível por $w_1$ , retorne "nenhuma solução viável". (o invariante $c_i$ divide $w_j$ irá sempre ser mantida no ciclo seguinte)

2. para $j$ de $1$ a $m$ :

   1. $k \gets \sum_{i=1}^n (c_i/w_j)\%d_j$ . (o mínimo de bolas de peso$w_j$ necessário)
   2. Se $b_j<k$ , retorne "nenhuma solução viável".
   3. $c_i \gets c_i - ((c_i/w_j)\% d_j)$ para todos$i$ . (remova o número mínimo de bolas necessárias de peso$w_j$ )
   4. $b_{j+1} \gets \lfloor (b_j-k)/d_j \rfloor$ . (agrupe bolas menores em uma bola maior)
3. retornar "existe uma solução viável".

Uma solução de tempo polinomial para o caso especial em que $n=1$ , e $w_j$ são potência de $2$ s

Sabe-se que se $n=1$ e todos os $w_j$ são potências de $2$ , esse caso especial pode ser resolvido em tempo polinomial.

$$\begin{align*} \text{Minimize:} & \sum_{j=1}^m |a_j-x_j| \\ \text{subject to:} & \sum_{j=1}^m w_j x_j = c\\ & 0 \leq x_j \leq b_j \text{ for all } 1\leq j \leq m\\ \end{align*}$$

A solução foi sugerida por Yuzhou Gu , e uma redação pode ser encontrada aqui .

Algum plano de fundo. O problema acima é o problema da mochila com restrições. A solução de problema de mochila mais eficiente, com ou sem restrições, pode ser resolvida em tempo pseudopolinomial, ainda NP-Hard. Para algumas variações, consulte https://en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem#Definition . A primeira restrição nessa variação é que o valor dos itens (bolas) a serem colocados na mochila (caixas) não importa. O problema é restrito à quantidade de tempo que leva para colocar os itens na mochila. O problema original requer que os itens mais valiosos sejam colocados no menor tempo possível. Outra restrição com esta versão é que os pesos e todos os outros argumentos são inteiros. E a restrição de interesse é que os pesos$w_j$divida para todos os j . Nota: o problema da mochila fracionária pode ser resolvido em tempo polinomial, mas não apresenta as soluções mais práticas para o problema original. Esse problema usa números inteiros que se dividem igualmente (sem soluções racionais). Talvez veja Qual é o grande problema com o problema da mochila? .$w_{j+1}$$j$

A principal pergunta talvez deve ser "é este problema ainda NP-Hard quando é ilimitado por um polinômio correspondente ao i , como o problema é menos complexa (em P) quando é limitado? A razão de eu dizer isso é porque o problema pode ser mostrado em P quando w j é delimitado e NP-Hard quando w j não necessariamente divide w j + $w_j$$i$$w_j$$w_j$$w_{j+1}$uniformemente (os pesos são simplesmente aleatórios), todas as restrições limitam a complexidade desse problema a essas duas condições. Essas condições (1. o problema da mochila de peso aleatório sem a restrição de valor do item e 2. o problema da mochila de peso divisível sem a restrição de valor do item) se negam em termos de redução da complexidade, pois os quocientes dos pesos podem ser aleatórios ( especialmente quando ilimitado), impondo cálculos de tempo exponencial (isso será mostrado no exemplo abaixo). Além disso, como divide w j + 1 , w j aumenta exponencialmente em tamanho para cada $w_j$$w_{j+1}$$w_j$$j$. Isso ocorre porque, em vez de usar itens ponderados aleatórios (bolas cujo peso unitário pode ser limitado a pesos unitários inferiores a 100 ou 50 ou mesmo 10), a restrição faz com que a complexidade do tempo dependa do número de dígitos de , o mesmo como divisão de teste, que é exponencial.$w_j$

Portanto, sim, o programa inteiro acima permanece NP-difícil, mesmo quando divide w j + 1 para todos os j . $w_j$$w_{j+1}$$j$ E isso é facilmente observado.

Exemplo 1: Seja e w p sejam potências de dois. Por causa da constante dois, todo o problema é resolvido no tempo quadrático, como mostra o seu exemplo. Os pesos não são aleatórios e, portanto, o cálculo é resolvido com eficiência.$n = 1$$w_p$

$w_{j+1}$$w_j * p$$p$$j$$p=2, j=1: p=3, j=2, p=5, j=3, p=7, j=4,...,P, J$$w_j$$w_{j+1}$$j$$w_j$$j$$1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, ...$$p_j$ ~ $j log (j)$, via the prime number theorem), as the quotients are all primes, we get the complexity NP-Intermediate.

Example 3: let $w_{j+1}$ be defined as $w_j * R_p$, where $R_p$ is a randomly chosen prime number from two to infinity, corresponding to $j$. This is applicable to this problem, as $w_j$ divides $w_{j+1}$ for all $j$. We get the first 5 quotients (randomly falling from two to infinity), as $101, 2657, 7, 3169, 2$. We see that even at the 5th ball, the weight has eleven digits. Fortunately, the fifth quotient was two and not a prime in the order of $10^{100}$ or larger.

Example three above is what happens when $w_j$ is not bounded (random weights) by a polynomial corresponding to $i$. The time complexity is exponential, NP-Hard. For some perspective, just add up all the weights, see if they fit. But there isn’t a solution to solving it significantly faster by making the weights divisible than trying each subset to see if it works. After a few dozen balls, you are still entering the realm of even the trillions of subsets or trillions of digits.