Formulação de polígono convexo

Temos uma lista ordenada de comprimentos laterais que podem ser usados para formar um polígono. Existem tais valores ( ). $n$ $n \le 1000$

Agora precisamos descobrir se podemos usar 10 desses valores para formar um polígono convexo não degenerado.

Como abordamos isso? Qualquer coisa na ordem de é aceitável. Melhor se possível. Preciso da idéia geral de como proceder, das propriedades dos polígonos convexos que podem ser explorados aqui, etc. $O(n^2 \log n)$

algorithms computational-geometry

— Alice
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Posso perguntar o que você precisa disso? Seus limites específicos de entrada e tempo são interessantes ... De qualquer maneira, parece uma pergunta difícil.

— Jmite

Duas observações: a convexidade não é importante. Veja isto: cs.mcgill.ca/~cs507/projects/1998/mas/main2.html É fácil determinar se é possível criar um polígono a partir de conjuntos de comprimentos: mathoverflow.net/questions/96617/…

— Chao Xu

Isso é para o problema TKCONVEX no Codechef ? O objetivo dessas competições é encontrar os algoritmos relevantes ou pelo menos a literatura relevante por conta própria. (Observe que em Ciência da Computação , não temos política contra concursos em andamento , diferentemente da Matemática .)

— Gilles 'pára de ser mau'

@Gilles até o algoritmo abaixo dará uma WA. Isso não é suficiente para corrigir o problema. E nós somos estudantes de graduação que não são tão bons em programação, mas queremos aprender. E concursos motivam a todos. E se aprendermos até 10 novos algoritmos por concurso, o ganho é enorme. Se alguém nos indicar a direção certa (observe que apenas apontar, sem códigos, nada), há mais chances de aprendermos o algoritmo real do problema. Então, apenas tentando aprender ... se eu resolver mais um problema, isso não afetará a tabela de classificação. Então eu acho que isso não importa, se ele nos ajuda a aprender

— Alice

Acho que Codechef tem um fórum de discussão onde as pessoas postam soluções após o término do concurso.

— precisa

Teorema 1. Para cada polígono com seqüência de comprimento de aresta , existe um polígono convexo com a mesma seqüência de comprimento de aresta. $a_1,\ldots,a_m$

Prova. Aqui .

Definição. são reais não negativos. Satisfaz a desigualdade (estrita) de se para todos . $a_1,\ldots,a_n$ $n$ $n$ $2a_j < \sum_{i=1}^n a_i$ $j$

Teorema 2. A sequência é uma sequência de comprimento da aresta para um polígono se satisfizer a desigualdade de -gon. $a_1,\ldots,a_n$ $n$

Prova. Aqui . (observe que a prova aqui requer matemática avançada e também prova o teorema 1)

O problema é reduzido para:

Dada uma sequência de reais não negativos, encontre uma subsequência do elemento que satisfaça a desigualdade de -gon. $n$ $k$ $k$

Um algoritmo simples: verifique se é uma solução para cada . Se nenhum deles funcionar, não haverá solução. $a_i,\ldots,a_{i+k-1}$ $1 \leq i\leq n-k+1$

Prova. Se tivermos qualquer solução , encontre o maior , de modo que (ex .: existe uma lacuna). Se não existe essa lacuna, estamos prontos. Se houver, também é uma solução. (intuitivamente, usamos o elemento maior na lacuna e removemos o menor elemento). Podemos repetir essa etapa (no máximo vezes) e preencher todas as lacunas. Eventualmente, produzimos uma solução do formato para alguns . $a_{i_1},\ldots,a_{i_k}$ $j$ $a_{i_{j+1}}-a_{i_j}>1$ $a_{i_2},\ldots,a_{i_{j}},a_{i_{j+1}-1},a_{i_{j+1}},\ldots,a_{i_k}$ $k-1$ $a_{i_k}-k+1,a_{i_k}-k,\ldots,a_{i_k}-1,a_{i_k}$ $i$

O algoritmo pode ser feito ingenuamente no tempo . Talvez haja uma maneira mais inteligente de fazer isso. $O(kn)$

Uma questão interessante de acompanhamento:

Dada uma sequência de reais não negativos, encontre a subsequência mais longa , de modo que todo elemento subsequente de satisfaça a desigualdade de -gon . $n$ $S$ $k$ $S$ $k$

— Chao Xu
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esse teorema 2 é uma extensão da desigualdade do triângulo? E por que a classificação é necessária? Podemos escolher qualquer subconjunto k dos pontos dados que satisfaça o segundo teorema.

— Alice

Você não precisa classificar, a classificação apenas reduz a complexidade do tempo: verifique apenas subsequências em vez de .

O (n)

$O(n)$

2^{n}

$2^n$

— Chao Xu

parece não funcionar. tem certeza de que precisamos verificar apenas polígonos nk?

— Alice

Forneça um exemplo quando isso não funcionar.

— precisa

Existe uma maneira um pouco melhor de fazer isso. Mantenha um total de execução das últimas arestas (adicionando e subtraindo o desse total de execução) e use esse total de execução para verificar a desigualdade de -gon. Isso reduz o tempo de a .

k

$k$

a_{i + k}

$a_{i+k}$

a_{i}

$a_i$

k

$k$

O (k n)

$O(kn)$

O (n)

$O(n)$

— Peter Shor