O que são polígonos degenerados?

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O que são polígonos degenerados? Como se verifica se um determinado par de polígonos é degenerado ou não?

algorithms computational-geometry

— Alice
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Contexto? Não acredito que "polígono degenerado" tenha uma definição padrão.

— Peter Shor

Se eu tenho dois polígonos convexos, como o que seria degenerado? se eles compartilham um lado comum ou se sobrepõem? ou nenhum? ou ambos?

— Alice

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Meu palpite é que esses são polígonos nos quais dois vértices adjacentes são iguais.

— Yuval Filmus

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Um polígono é degenerado se alguns de seus vértices se encontrarem. por exemplo, o triângulo (0,0), (0,1), (0,0) é degenerado. Tem 3 lados e 3 vértices, mas dois deles se repetem. É possível repetir um vértice várias vezes (por exemplo (0,0), (0,0), (0,0) é outro triângulo degenerado). Por definição, verificar se um polígono é degenerado ou não é fácil.

Mas quais são os usos dos polígonos degenerados? Uma aplicação da aceleração gráfica (desenho 3D) é a seguinte:

No desenho 3D, as GPUs normalmente usam triangulação para renderizar imagens. A razão (simples) para o uso de triângulos é porque eles são objetos 2D possíveis mais simples, portanto não precisam de muito hardware.

Se queremos desenhar uma imagem 3D complexa, por essa limitação da GPU, temos que decompô-la em vários triângulos. Mas se chamarmos a GPU para renderizar cada triângulo separadamente, seria muito lento (devido ao número de chamadas). Portanto, a faixa triangular é usada para reduzir o número de chamadas para a GPU. Uma boa explicação sobre as tiras triangulares pode ser encontrada em Documentação da Microsoft: Tiras triangulares , também você pode ver o wiki de: Tira triangular .

Mas o problema surge quando queremos desenhar dois objetos separados em uma faixa. Neste caso, triângulos degenerados ajudam. A GPU pode detectar os triângulos degenerados e pular seus desenhos. Assim, podemos conectar duas tiras separadas com um triângulo degenerado.

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— Lógica Errante
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Você poderia esclarecer se degenerado significa apenas vértices iguais adjacentes ou se a definição inclui vértices iguais não adjacentes? (A pergunta-não sincera apenas tentando melhorar a resposta)

— Erik Hermansen

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Um polígono degenerado é aquele que tem área zero.

— Gabriel Rohweder
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Se a resposta do usuário742 estiver correta, isso não seria verdade. Pegue um quadrado. Se dois e apenas dois vértices são iguais, então é um triângulo e, portanto, a área é> 0.

— HankCa 28/02

e você esclareceu isso bem. um triângulo não é degenerado.

— Gabriel Rohweder 28/02

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Como outros observaram, isso depende. De um modo geral, um polígono não é degenerado se não tiver pontos anômalos, mas isso apenas leva o problema de volta um passo; o que é "anômalo"?

A resposta real é que um polígono é degenerado se violar a especificação. A resposta um pouco grosseira é que um polígono é degenerado se for um caso de borda que seu algoritmo não pode lidar.

Aqui está um exemplo do mundo dos SIG. A especificação de recursos simples do OGC possui uma definição muito cuidadosa do que torna um polígono "válido". Citando a Seção 6.1.11.1:

As asserções para polígonos (as regras que definem polígonos válidos) são as seguintes:

a) Os polígonos são topologicamente fechados;

b) O limite de um polígono consiste em um conjunto de anéis lineares que compõem seus limites exterior e interior;

c) Não há dois anéis na cruz de limite e os anéis no limite de um polígono podem cruzar-se em um ponto, mas apenas como uma tangente, por exemplo
$\begin{aligned} \forall P \in Polígono, \forall c_{1 1}, c_{2} \in P.Boundary, c_{1 1} \neq c_{2}, \\ \forall p, q \in Ponto, p, q \in c_{1 1}, p \neq q, \\ [p \in c_{2}] \Rightarrow [\exists δ > 0 0 | [| p - q | < δ] \Rightarrow [q \notin c_{2}]] \end{aligned}$ $\begin{align*} & \forall P \in \hbox{Polygon}, \forall c_1, c_2 \in \hbox{P.Boundary}, c_1 \ne c_2,\\ & \forall p, q \in \hbox{Point},\,p,q \in c_1, p \ne q,\\ & \left[ p \in c_2 \right] \Rightarrow \left[ \exists \delta > 0 | \left[\left|p-q\right|<\delta\right]\ \Rightarrow \left[ q \not\in c_2 \right] \right] \end{align*}$

Nota: Esta última condição diz que, em um ponto comum às duas curvas, os pontos próximos não podem ser comuns. Isso força cada ponto comum a ser um ponto de tangência.

$\forall P \in \hbox{Polygon}, P = \hbox{P.Interior.Closure}$

e) O interior de cada polígono é um conjunto de pontos conectados;

f) O exterior de um polígono com 1 ou mais orifícios não está conectado. Cada furo define um componente conectado do exterior.

Nas afirmações acima, interior, fechamento e exterior têm as definições topológicas padrão. A combinação de (a) e (c) faz de um polígono um conjunto regular de pontos fechado.

— Pseudônimo
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