Uma avaliação do cálculo lambda envolvendo números da Igreja

Entendo que um numeral da Igreja parece com (... n vezes ...) . Isso significa nada mais do que "a função aplicada vezes à função ". $c_n$ $\lambda s. \lambda z. s$ $s\;z$ $s$ $n$ $z$

Uma definição possível da função é a seguinte: . Olhando para o corpo, entendo a lógica por trás da função. No entanto, quando começo a avaliar, fico preso. Vou ilustrá-lo com um exemplo: $\mathtt{times}$ $\mathtt{times} = \lambda m. \lambda n. \lambda s. m \; (n\; s)$

\begin{aligned} (λ m . λ n . λ s . m (n s)) (λ s . λ z . s s z) (λ s . λ z . s s s z) \\ \to^{*} & λ s . (λ s . λ z . s s z) ((λ s . λ z . s s s z) s)) \\ \to^{*} & λ s . (λ s . λ z . s s z) (λ z . s s s z) \\ \to^{*} & λ s . λ z . (λ z . s s s z) (λ z . s s s z) z \end{aligned}

$\begin{align*} (\lambda m. \lambda n. \lambda s. m \; (n\; s))(\lambda s.\lambda z.s\;s\;z)(\lambda s.\lambda z.s\;s\;s\;z) \mspace{-4em} \\ \to^*& \lambda s. (\lambda s.\lambda z.s\;s\;z) \; ((\lambda s.\lambda z.s\;s\;s\;z)\; s)) \\ \to^*& \lambda s. (\lambda s.\lambda z.s\;s\;z) \; (\lambda z.s\;s\;s\;z) \\ \to^*& \lambda s. \lambda z.(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;z \end{align*}$

Agora, nessa situação, se eu aplicar pela primeira vez , chego ao resultado desejado. No entanto, se eu aplicar primeiro, como devo, porque o aplicativo é associativo da esquerda, recebo um resultado errado: $(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;z$ $(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;(\lambda z.s\;s\;s\;z)$

$\lambda s. \lambda z.(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;(\lambda z.s\;s\;s\;z)\;z \to \lambda s. \lambda z.(s\;s\;s\;(\lambda z.s\;s\;s\;z))\;\;z$

Não posso mais reduzir isso. O que estou fazendo de errado? O resultado deve ser $\lambda s. \lambda z.s\;s\;s\;s\;s\;s\;z$

lambda-calculus church-numerals

— codd
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Os números da Igreja no seu período inicial não estão corretos. 2 é representado por , não .

λ s . λ z . s (s z)

$\lambda s. \lambda z. s (s z)$

λ s . λ z . s s z

$\lambda s. \lambda z. s s z$

— Uday Reddy

Eu acho que sua redução está correta (eu só olhei para ela, no entanto). No final, você não pode aplicar a , isso nunca aparece no termo. é , não . Funções no cálculo lambda usam um único argumento; elas são efetivamente curry : uma função de dois argumentos é implementada como uma função de um argumento que pega o primeiro argumento e retorna uma nova função de um argumento que pega o segundo argumento e retorna o resultado. $(\lambda z. s s s z)$ $z$ $\lambda z. f f z$ $\lambda z. (f f) z$ $\lambda z. f (f z)$

Você cometeu o mesmo erro ao definir os números da Igreja. O numeral da igreja para é baseado na composição de uma função vezes. “A função aplicada vezes à função ” . O que você escreveu é a função aplicadas vezes para a função e, finalmente, para , o que não me parece um termo útil. $n$ $n$ $s$ $n$ $z$ $\lambda s. \lambda z. s (s ( … s \: z) … ))$ $s$ $n-1$ $s$ $z$

$2 \times 3$ é assim . Vou deixar você verificar se ele se reduz a . $(\lambda m n s. m (n s)) (\lambda s z. s (s \: z)) (\lambda s z. s (s (s \: z)))$ $\lambda s z. s (s (s (s (s (s \: z)))))$

— Gilles 'SO- parar de ser mau'
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Quanto ao seu parágrafo, você está certo e eu estava ciente disso. Apenas me impressionou que a aplicação associativa correta produziu o resultado certo. Quanto ao segundo parágrafo: você está certo. Não usar chaves foi errado da minha parte, novamente por causa da associatividade esquerda do aplicativo. Agora vou reduzir tudo novamente e ver se minha falta de aparelho causou meu erro!

— Codd #

Sim. Você notou que minha notação implicava uma ordem incorreta de aplicação resolvida o problema! Aceitando sua resposta.

— Codd #