Encontre quais vértices excluir do gráfico para obter o menor componente maior

Dado um gráfico , encontre vértices , cuja remoção resultaria em um gráfico com o menor componente maior. $G = (V, E)$$k$$\{v^*_1,\dots,v^*_k\}$

Presumo quee grande o problema é difícil (NP-difícil), mas estou interessado em pequenos valores de k ( k \ in \ {1, 2, 3, 4 \} ).$n = |V|$$k$$k$$k \in \{1, 2, 3, 4\}$

Para $k = 1$ , acho que é possível encontrar o melhor vértice $\{v^*_1\}$ para remover, executando a busca única em profundidade do gráfico (ou seja, verificando os pontos de articulação).

Para $k = 2$ , seria possível encontrar os melhores vértices $\{v^*_1, v^*_2\}$ executando $n$ pesquisas em profundidade (cada uma delas no gráfico $G_i = G / \{v_i\}$ ). Uma abordagem semelhante pode ser aplicada no caso $k > 2$ .

Gostaria de saber se existe alguma solução melhor do que isso.

(Relacionado: contando o número mínimo de vértices sem necessariamente enumerá-los )

O problema que você está descrevendo é conhecido como Conectividade da ordem dos componentes no campo de medidas de vulnerabilidade dos gráficos . A versão de decisão do problema é a seguinte:

Conectividade da ordem dos componentes :

Entrada: Gráfico , os inteiros e$G = (V,E)$$k$$\ell$

Pergunta: Existe um conjunto de vértices de tamanho no máximo modo que o tamanho do maior componente de seja no máximo ?$X \subseteq V$$k$$G - X$$\ell$

O problema é obviamente NP-completo, pois generaliza a cobertura de vértices; o caso em que é a cobertura do vértice. Portanto, o problema não pode ser corrigido por um parâmetro tratável quando parametrizado por (a menos que ). O problema também é conhecido por ser -hard quando parametrizado por . Portanto, temos que recorrer a algoritmos com um tempo de execução exponencial em$\ell=1$$\ell$$FPT = W[1]$$W[1]$$k$$k+\ell$.

Pergunta muito interessante. Para entrada$G,k,\ell$, uma abordagem de força bruta seria:

branching(G,k,l):
    Find a connected set of vertices D of G of size l+1
    if no such D exists:
            return True // no component of size > l
    for v in D:
        if branching(G-v,k-1,l):
            return True
    return False

O algoritmo é executado no tempo $(\ell + 1)^k \cdot n^2$.

Observe que qualquer instância yes $G,k,\ell$ do problema tem largura de árvore e, na verdade, largura de caminho, no máximo $k+\ell$. Isso pode ser observado ao ver que a tomada de um conjunto de exclusões$X$de tamanho no máximo produz um gráfico onde cada componente conectado tem tamanho no máximo . Portanto, uma decomposição de caminho válida é simplesmente construir uma bolsa para cada um dos componentes no e adicionar todo a cada bolsa. Daqui resulta que qualquer instância yes possui .$k$$G-X$$\ell$$G-X$$X$$|E(G)| \leq n(k+\ell)$

Um problema relacionado foi estudado no passado sob o nome Graph Integrity ou Vertex Integrity para distinguir a versão de exclusão de vértice e a versão de exclusão de borda:

Integridade do vértice :

Entrada: Gráfico$G = (V,E)$inteiro $p$

Pergunta: Existe um conjunto de vértices$X \subseteq V$ de tal modo que $|X| + \max_{D \in cc(G-X)}|D| \leq p$?

Ou seja, a soma do conjunto de exclusões e o tamanho do componente máximo devem ser minimizados. Esse problema também é difícil para o NP. Veja, por exemplo,

• Clark, LH, Entringer, RC, Fellows, MR: complexidade computacional da integridade. J. Combin. Matemática. Combin. Comput 2, 179-191 (1987)
• Fellows, M., Stueckle, S .: A ordem de imersão, subgráficos proibidos e a complexidade da integridade da rede. J. Combin. Matemática. Combin. Comput 6, 23-32 (1989)