Como provar que um problema NÃO é NP-Completo?

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Existe alguma técnica geral para provar que um problema NÃO é NP-Completo?

Eu recebi esta pergunta no exame que me pediu para mostrar se algum problema (veja abaixo) é NP-Complete. Eu não conseguia pensar em nenhuma solução real e apenas provei que estava em P. Obviamente, essa não é uma resposta real.

NP-Complete é definido como o conjunto de problemas que estão no NP e todos os problemas do NP podem ser reduzidos a ele. Portanto, qualquer prova deve contradizer pelo menos uma dessas duas condições. Esse problema específico está de fato em P (e, portanto, em NP). Então, eu estou preso em provar que há algum problema no NP que não pode ser reduzido a esse problema. Como diabos isso pode ser provado?

Aqui está o problema específico que recebi no exame:

Seja o conjunto de seqüências de caracteres na forma normal disjuntiva . Seja o idioma das seqüências de caracteres de que são satisfatórias por alguma atribuição de variáveis. Mostrar se está ou não em NP-Complete. $DNF$ $DNFSAT$ $DNF$ $DNFSAT$

complexity-theory np-complete proof-techniques

— Sem título
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Se se provar que o DNF-SAT não é NP-completo, isso implicaria imediatamente que

, como você mostrou. Portanto, acredito que a resposta que eles procuravam é exatamente o que você deu (e você provavelmente deveria assumir implicitamente que

). Ainda assim, essa é uma pergunta muito enganadora.

P \neq N P

$P\neq NP$

P \neq N P

$P\neq NP$

— Shaull

Você está certo, então eu entendo que esse problema é equivalente ao problema de

e uma solução para um, também resolve o outro.

P = N P

$P=NP$

— Untitled

Por que você diz provar que o DNFSAT está em P que "obviamente esta não é uma resposta real"?

— András Salamon

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@ AndrásSalamon Assume-se que

, que é uma instrução não provada.

P \neq N P

$P\neq NP$

— Sem título

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@ Sem título: na verdade, não assume P ≠ NP, veja minha resposta.

— András Salamon

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Com base nos comentários, você parece querer uma resposta incondicional.

No entanto, o DNF-SAT está em L, atribuindo variáveis para satisfazer o primeiro disjuntor. Portanto, se estiver completo com NP, então L = NP.

Por outro lado, se L = NP, DNF-SAT é NP-completo sob reduções de espaço de log, trivialmente. (De fato, se L = NP, todo problema no NP é NP-completo sob reduções do espaço de log.)

Segue-se que L = NP se DNF-SAT é NP-completo sob reduções de espaço de log.

Portanto, no momento, você não pode fazer uma declaração incondicional de que o DNF-SAT não é NP-completo, como você deseja fazer. Não é necessário assumir P ≠ NP, mas a resposta precisa estar condicionada a algo, e L ≠ NP é a hipótese mais fraca possível que garante o resultado desejado.

— András Salamon
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Interessante. Portanto, este problema é equivalente ao problema de

. Você poderia explicar por que diz que

é uma suposição fraca?

L = N P = P = N P C

$L=NP=P=NPC$

L \neq N P

$L\neq NP$

— Sem título

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Se

então

é mais fraco do que

.

ϕ \Rightarrow ψ

$\phi \Rightarrow \psi$

ψ

$\psi$

ϕ

$\phi$

— András Salamon

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Um problema é NP-completo se é tanto NP- difíceis e em NP. Isso significa que você precisa refutar um desses dois. $Q$

Sob a suposição de que P $\neq$ NP, você pode dar um tempo polinomial algoritmo de resolução de . Mais raramente, sob a suposição de que o isomorfismo do gráfico não é NP-rígido, você pode mostrar que é politmo redutível ao gráfico do isomorfismo. $Q$ $Q$
Você mostra isso não está no NP. Isso é mais difícil e você geralmente deve usar outras suposições, como o não colapso da hierarquia polinomial, que NP coNP ou mostre que é difícil para alguma outra classe superior a NP, por exemplo, mostrando que é NEXPTIME-difícil. $Q$ $\neq$

Normalmente, a resposta é fornecer um algoritmo de tempo polinomial, que seria o mais simples para DNF-SAT, mas isso depende da hipótese de que P NP. No entanto, provar que DNF-SAT não é NP-completo sem nenhuma suposição implica, como Shaull aponta, provar que P NP, de modo que é um pouco mais complicado. $\neq$ $\neq$

— Pål GD
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As duas técnicas que você forneceu se baseiam em algum tipo de suposição não comprovada. Você acha que poderia haver uma maneira concreta (sem suposições) de resolver um problema desse tipo?

— Untitled

Ah, e eu não quis dizer esse problema específico, porque, como Shaull afirmou, esse problema ainda está aberto. Eu quis dizer provar a CoNP-Completeness em geral.

— Sem título

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@ Sem título Você provavelmente não quis dizer coNP-completeness. Uma maneira de mostrar isso é pelo meu ponto (2), provando que o problema é NEXPTIME-difícil. Sabemos que NP

NEXPTIME, o que provaria isso. Provar que um problema

é NEXPTIME-difícil, portanto, significa que

não pode estar no NP e, portanto, não pode ser NP-completo.

⊊

$\subsetneq$

Q

$Q$

Q

$Q$

— precisa

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Pela hierarquia de tempo não determinística, você pode mostrar que o problema é -hard; como , é impossível reduzir o problema em tempo polinomial a qualquer problema em , para que o problema não esteja em $\mathsf {NEXP}$ $\mathsf {NP} \ne \mathsf {NEXP}$ $\mathsf {NP}$ . $\mathsf {NP}$

No entanto, se o seu problema não for tão difícil, você pode ser pressionado a provar que não está em ; e se estiver em , você será pressionado a mostrar que não é redutor de Karp para o seu problema sem assumir que $\mathsf {NP}$ $\mathsf {NP}$ $\mathsf {NP}$ $\mathsf P \ne \mathsf {NP}$ .

— Niel de Beaudrap
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Como é o caso de todas as provas, não existe uma fórmula para provar uma afirmação, você precisa adivinhar, tentar e errar e esperamos poder provar o que está tentando provar. Para provar que um problema NÃO é NP-Completo, negue a definição (Lei DeMorgran), ou seja, prove o problema NÃO no NP ou prove o problema NÃO no NP-Difícil.

— saadtaame
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Acredito que o que o palestrante realmente quer é que você possa distinguir problemas que estão em P dos problemas que são NP-completos no significado dado a linguagem, você pode construir um algoritmo eficiente? se sim, suspeita-se que não seja NP-completo porque não achamos que os idiomas em P sejam NP-completos! caso contrário, você ainda precisará provar que o problema é difícil para o NP!

note que existem alguns problemas que não conhecemos, como status de isomorfismo de gráfico, fatoração de número determinado, ... achamos que esses problemas não são NP-completos, mas ninguém poderia provar isso! especificamente, temos evidências de que o isomorfismo do gráfico não é NP-completo! Outro problema é a conjuntura de jogo única que suspeitamos que o jogo único seja NP-completo, mas não existe prova! portanto, a abordagem que você descreve não é útil!

— fayez abd-alrzaq deab
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