Encontre subsequência de comprimento máximo satisfazendo simultaneamente duas restrições de ordenação

Nos é dado um conjunto $F=\{f_1, f_2, f_3, …, f_N\}$ do $N$Frutas. Cada fruta tem preço e conteúdo vitamínico ; associamos a fruta ao par ordenado . Agora temos que organizar essas frutas de forma que a lista classificada contenha preços em ordem crescente e conteúdo de vitaminas em ordem decrescente.$P_i$$V_i$$f_i$$(P_i, V_i)$

Exemplo 1 : e .$N = 4$$F = \{(2, 8), (5, 11), (7, 9), (10, 2)\}$

Se organizarmos a lista de modo que todo o preço esteja em ordem crescente e o conteúdo de vitaminas em ordem decrescente, as listas válidas serão as seguintes:

• $[(2, 8)]$
• $[(5, 11)]$
• $[(7, 9)]$
• $[(10, 2)]$
• $[(2, 8), (10, 2)]$
• $[(5, 11), (7, 9)]$
• $[(5, 11), (10, 2)]$
• $[(7, 9), (10, 2)]$
• $[(5, 11), (7, 9), (10, 2)]$

Nas listas acima, desejo escolher a lista de tamanho máximo. Se mais de uma lista tiver tamanho máximo, devemos escolher a lista de tamanho máximo cuja soma dos preços seja menor. A lista que deve ser escolhida no exemplo acima é .$\{(5, 11), (7, 9), (10, 2)\}$

Exemplo 2 : e$N = 10$

$$F = \{(99,10),(12,23),(34,4),(10,5),(87,11),(19,10), \\(90,18), (43,90),(13,100),(78,65)\}$$

A resposta para esta instância de exemplo é .$[(13,100),(43,90),(78,65),(87,11),(99,10)]$

Até agora, é isso que tenho feito:

1. Classifique a lista original em ordem crescente de preço;
2. Encontre todas as subsequências da lista classificada;
3. Verifique se a subsequência é válida e compare todas as subsequências válidas.

No entanto, isso leva tempo exponencial; como posso resolver esse problema com mais eficiência?

Uma solução de programação dinâmica funcionaria aqui, se o conteúdo de vitaminas viesse de um conjunto finito (por exemplo, números inteiros limitados). Primeiro, classifique as frutas em preço ascendente e, nos casos em que duas ou mais frutas tenham o mesmo preço, classifique-as em conteúdo vitamínico (decrescente). Agora, defina$M[f, v]$ para ser o número máximo de frutas em uma sub-lista, contendo apenas o último $f$ frutas (da lista classificada), com um teor de vitaminas de no máximo $v$. $M[0, *] = 0$ e

$$M[f, v] = \begin{cases} \mathrm{max} \{M[f-1, v], 1 + M[f-1, V_f]\} & \text{if \(V_f <= v\)} \\ M[f-1, v] & \text{otherwise} \\ \end{cases}$$ O uso de programação dinâmica fornece uma solução que é executada em $O(\text{number of fruit} \times \text{possible vitamin values})$.