Quais são as condições para um NFA para seu DFA equivalente ter tamanho máximo?

Sabemos que os DFAs são equivalentes aos NFAs em poder de expressividade; também existe um algoritmo conhecido para converter NFAs em DFAs (infelizmente agora conheço o inventor desse algoritmo), o que, na pior das hipóteses, nos dá estados, se nosso NFA tivesse estados. $2^S$ $S$

Minha pergunta é: o que está determinando o pior cenário possível?

Aqui está uma transcrição de um algoritmo em caso de ambiguidade:

Seja um NFA. Construímos um DFA em que $A = (Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$ $A' = (Q',\Sigma,\delta',q'_0,F')$

$Q' = \mathcal{P}(Q)$ ,
$F' = \{S \in Q' | F \cap S \neq \emptyset \}$ ,
$\delta'(S,a) =\bigcup_{s \in S} (\delta(s,a) \cup \hat \delta(s,\varepsilon))$ e
$q'_0 = \{q_0\} \cup \hat \delta(q_0, \varepsilon)$ ,

onde é a função de transição alargada de . $\hat\delta$ $A$

— Daniil
fonte

como os comentários indicam, você pode resgatar esse Q solicitando um NFA "mínimo" para um DFA (um problema em aberto). sempre pensei que este problema estivesse intimamente ligado à questão P =? NP de várias maneiras e tenha algumas formulações semelhantes que sugerem isso. é semelhante porque você está perguntando sobre DFAs "compressíveis" vs "incompressíveis", onde "incompressível" é o pior caso, de modo que a NFA mínima seja quase do tamanho do DFA. provavelmente há algum teorema como, "a maioria dos DFAs, tomadas ao acaso, são incompressíveis [em NFAs]", pois há thms semelhantes em teoria da informação re Kolmogorov complexidade das cordas etc.

— vzn

Respostas:

O algoritmo a que você se refere é chamado de Construção Powerset e foi publicado pela primeira vez por Michael Rabin e Dana Scott em 1959.

Para responder sua pergunta como indicado no título, não há DFA máximo para um idioma normal, pois você sempre pode fazer um DFA e adicionar quantos estados desejar com as transições entre eles, mas sem transições entre um dos estados originais e um dos novos. Assim, os novos estados não será acessível a partir do estado inicial , então a linguagem aceita pelo autômato não vai mudar (desde permanecerá o mesmo para todos ). $q_0$ $\hat\delta(q_0,w)$ $w\in\Sigma^*$

Dito isso, é claro que não pode haver condições em um NFA para que seu DFA equivalente seja o máximo, uma vez que não existe um DFA equivalente exclusivo . Por outro lado, o DFA mínimo é único até o isomorfismo.

Um exemplo canônico de um idioma aceito por uma NFA com estados com DFA equivalente a estados é Um NFA para é $n+1$ $2^n$

L = {w \in {0, 1}^{*} : | w | \geq n and the n -th symbol from the last one is 1} .

$L=\{w\in\{0,1\}^*:|w|\geq n\text{ and the $n$-th symbol from the last one is 1}\}.$

L

$L$

, com

para

A = ⟨ Q, {0, 1}, δ, q_{0}, {q_{n + 1}} ⟩

$A=\langle Q,\{0,1\},\delta,q_0,\{q_{n+1}\}\rangle$

δ (q_{0}, 0) = {q_{0}}

$\delta(q_0,0)=\{q_0\}$

δ (q_{0}, 1) = {q_{0}, q_{1}}

$\delta(q_0,1)=\{q_0,q_1\}$

δ (q_{i}, 0) = δ (q_{i}, 1) = {q_{i + 1}}

$\delta(q_i,0)=\delta(q_i,1)=\{q_{i+1}\}$

. O DFA resultante da aplicação da construção powerset a esta NFA terá

estados, porque você precisa para representar todos os

palavras de comprimento

como sufixos de uma palavra em

i \in {1, \dots, n}

$i\in\{1,\ldots,n\}$

2^{n}

$2^n$

2^{n}

$2^n$

n

$n$

L

$L$

— Janoma
fonte

A propósito, se você quiser que os colchetes apareçam no modo matemático da tela, use \\ {e \\}.

— Zach Langley #

@ZachLangley Eu já tentei, ele não funciona :-(

— Janoma

Parece estar funcionando para mim na pré-visualização. Não posso enviar a edição, porque estou adicionando apenas quatro caracteres e o mínimo é seis. Você está usando duas barras invertidas e não funcionou?

— Zach Langley

@ZachLangley Ele funciona agora, mas duas coisas: 1º, não funcionou quando publiquei a resposta pela primeira vez. Segundo, acho que isso é inconsistente com o comportamento da renderização do LaTeX na história, mas posso estar errado.

— Janoma

O DFA resultante é mínimo? Você poderia falar um pouco sobre como provar que é mínimo?

— user834

O pior caso de vem do número de subconjuntos de estados da NFA. Para que o algoritmo do teorema de Kleene forneça um DFA equivalente com o pior número de estados, deve haver uma maneira de chegar a todos os subconjuntos possíveis de estados no NFA. Um exemplo com dois estados sobre o alfabeto possui uma transição do estado inicial para o único estado de aceitação no símbolo , uma transição do estado de aceitação de volta para a inicial em e uma transição do estado de aceitação de volta para em um ou . As strings , , $2^{s}$ $\{a, b\}$ $a$ $b$ $a$ $b$ $\lambda$ $a$ $b$ , e levam aos subconjuntos , , e , respectivamente, e esses precisam de estados separados no DFA que Kleene fornece. $ab$ $\{q_{1}\}$ $\{q_{2}\}$ $\{\}$ $\{q_{1}, q_{2}\}$

— Patrick87
fonte

concordou, mas a questão de "se existe uma maneira de obter a cada subconjunto possível de estados da NFA" não é trivial e vale a pena um estudo mais aprofundado ....

— vzn

-1

Eu acredito que essa é uma questão na fronteira do conhecimento, ou seja, basicamente uma questão de pesquisa. A partir de uma rápida pesquisa no Google, parece estar quase sempre aberta. Além disso, por muitos anos eu acreditei que fosse importante e vinculado aos limites inferiores da teoria da complexidade. Você não menciona diretamente uma análise estatística, mas é isso que está implícito na sua pergunta. Aqui estão dois exemplos de estudos estatísticos sobre DFAs / NFAs que são semelhantes para mostrar a abordagem geral de perguntas desse tipo. Parece que a pesquisa empírica básica sobre questões como essa ainda é quase inexplorada. É certo que o segundo não está diretamente relacionado à sua pergunta, mas é o mais próximo que pude encontrar da pesquisa atual.

$x$

Essa métrica estaria relacionada a métricas da teoria dos grafos, como densidade de arestas, etc. Provavelmente, existe alguma métrica muito importante da teoria dos grafos ou uma mistura de métricas que estima a "explosão", mas isso não é imediatamente óbvio para mim. Eu poderia sugerir algo como métricas de coloração de gráfico ou métricas de clique, talvez. Em seguida, teste a métrica em relação aos dois conjuntos "blow-up" vs "not blow-up".

Até agora, outras respostas à sua pergunta fornecem apenas um exemplo de caso de "explosão" (útil para um estudo de caso), mas não abordam a questão principal de uma métrica geral.

Outra área para analisar um programa de pesquisa empírica desenvolvido com sucesso é a pesquisa de pontos de transição do SAT. Isso desenvolveu vínculos muito profundos com os conceitos de física e termodinâmica. Parece-me provável que conceitos semelhantes sejam aplicáveis aqui. Por exemplo, é provável que você encontre métricas de tipo de ponto de transição análogas; provavelmente densidade de arestas etc. Observe paralelos à teoria da compressibilidade de Kolmogorov.

Suponho também que os NFAs que "explodem" em comparação com aqueles que não o fazem são, de alguma forma, muito análogos a instâncias "difíceis" vs "fáceis" de problemas de NP-completos.

Outra maneira de estudar esse problema seria formular um problema de minimização da NFA. Ou seja, dado um DFA, encontre o NFA mínimo, que ouvi pela última vez (muitos anos atrás), ainda era um problema em aberto.

[1] Sobre o desempenho de algoritmos de minimização de autômatos Marco Almeida, Nelma Moreira, Rogério Reis

[2] Autômatos que não reconhecem palavras: uma abordagem estatística Cristian S. Calude, Cezar Câmpeanu, Monica Dumitrescu

— vzn
fonte