Adivinhando o menor número inteiro positivo único

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Vamos considerar o seguinte jogo: existem alguns jogadores e um computador. Cada jogador digita um número inteiro positivo e seu nome (o jogador não conhece os números dos outros, apenas os seus). Quando todos os jogadores fizeram suas jogadas, o computador exibe o nome do vencedor - que apresentou o menor número único .

Como você acha, qual é a melhor estratégia para este jogo?

game-theory randomness

— vortexxx192
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Há várias páginas da web para esse problema com respostas conflitantes, mas é provável que esta tenha acertado.

— quer

@ PeterShor ou vortexxx192 - considere resumir as informações no link fornecido em uma resposta, conforme aplicável.

— precisa saber é o seguinte

Na verdade, este jogo foi dirigido por um matemático popular para um jornal holandês. Houve 1607 participantes eo vencedor escolheu 35. Fonte (holandês, paywall): volkskrant.nl/opinie/...

— Albert Hendriks

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Existem várias discussões sobre este jogo online, mas você deve ser cauteloso porque algumas delas oferecem soluções incorretas. Este site oferece uma excelente exposição de como resolver este jogo. (Baseado em parte neste artigo .) Você assume que todos os jogadores usam a mesma estratégia mista e que quando todos os jogadores usam essa estratégia, há um equilíbrio de Nash. Isso fornece equações que para três jogadores têm uma solução de formulário fechado: você escolhe o número inteiro com probabilidade $i$

0.839286 \cdot (0,543689)^{Eu}

$0.839286 \cdot (0.543689)^{\textstyle i}$

onde 0,543689 é a solução de . $x^3 + x^2 + x = 1$

Para players, se , as equações ainda podem ser derivadas, mas parecem não ter uma solução de forma fechada. Entretanto, na estratégia ideal, a probabilidade de reproduzir um número maior que é muito pequena; portanto, uma estratégia explícita quase ideal pode ser encontrada resolvendo-se as equações numericamente. $k$ $k \geq 4$ $k$

— Peter Shor
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Não há reputação suficiente para comentar, mas é importante notar que, se seus oponentes estão jogando pela estratégia de equilíbrio de Nash, Peter Shor, descrita para um jogo de 3 jogadores, suas chances de ganhar são de 29,6%, independentemente do número escolhido. Se você estiver jogando apenas um único jogo (para que ninguém possa determinar sua estratégia) e considerar um empate entre todos os jogadores melhor que uma derrota, um grande número como 89285829358008871 lhe dará a mesma chance de vitória que um 1 ou 2.

Nesse caso específico, não há nada a perder ao tentar uma estratégia diferente, caso seus oponentes não estejam de acordo com suas suposições.

— Matt Thompson
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Basicamente, o que você está dizendo é que existem estratégias que se saem bem contra a estratégia de equilíbrio. Esse sempre é essencialmente o caso e, na verdade, tudo o que você está fazendo é violar a suposição de que os jogadores agem racionalmente. Claro, você pode vencer o equilíbrio de Nash, mas se os outros jogadores souberem que você tentará fazer isso, eles poderão jogar de uma maneira que faça com que você (provavelmente) perca.

— David Richerby

Não, não era isso que eu estava dizendo! Eu nunca afirmei que o equilíbrio de Nash seria derrotado - se os outros dois jogadores optarem por essa estratégia, NÃO será derrotado. Em vez disso, a resposta do terceiro jogador é irrelevante, pois não tem impacto no resultado final (em média), portanto, não há custo em mudar de estratégia (se um oponente escolher uma estratégia subótima, por exemplo - não há suposição de racionalidade no OP ) A resposta foi mais para destacar algumas propriedades particulares do equilíbrio de Nash e discutir algumas das implicações práticas. Isso aborda suas preocupações?

— Matt Thompson