Qual é a fórmula para o número de strings sem repetições?

Eu quero contar o número de strings $s$sobre um alfabeto finito , que não contém repetições, e com isso quero dizer para qualquer substring de$A$$t$$s$, $1< |t| < |s|$, não há cópia separada de $t$ no $s$. Por exemplo, deixe$A=\{a,b\}$. Então é uma das seqüências de caracteres que quero contar, pois para a substring , não há cópias disjuntas. No entanto, contém essa repetição.$aaa$ $aa$$abab$

Se alguém já descobriu uma fórmula útil, faça o link. Caso contrário, voltarei a este post em qualquer artigo que eu escrever, se eu usar a resposta de alguém.

Aqui está outro exemplo. Vamos tentar construir uma cadeia longa sobre , que não contém repetições:$\{a,b\}$

aaa (não pode ser a)
   aaab (a ou b)
     aaabbb (não pode ser b)
       aaabbba (não pode ser b ou a)
   aaaba (não pode ser a ou b)

Se construíssemos uma árvore, poderíamos contar o número de nós, mas quero uma fórmula.

Edit: Bem, não é tão assustador quanto eu pensava se convertermos isso em um problema de escolha de lixeira. Um conjunto de cadeias de comprimento k com pelo menos uma repetição é igual ao conjunto que é a união de todas as permutações do produto cartesiano: que é a repetição necessária. Não sei se isso é útil, mas parecia profissional :) De qualquer forma, deixe que sejam | A | escaninhos, escolha dois (mesmo que o mesmo) para repetir e escolha$A \times A \times \cdots\times A \text{(k-4 times)} \times R \times R$$R$$k-4$ mais e multiplique (as 4 primeiras já estão escolhidas, vêem?). Agora só preciso encontrar essa fórmula a partir de matemática discreta.

^{Isso responde à pergunta após o número de palavras sem repetição por tamanho, implicando que a quantidade desejada existe.}

Definição: Chamada$w \in \Sigma$ sem repetição, se e somente se não contiver um fator$xyx$ com $x \in \Sigma^{\geq 2}$ e $y \in \Sigma^*$.

Reivindicação: Para um determinado alfabeto finito$\Sigma$ com $|\Sigma| = k$, não há palavras sem repetição com duração maior que $2k^2 + 1$.

Ideia de prova: Pelo princípio do buraco de pombo. Tome uma palavra$w$ de comprimento $2k^2 + 2$ (ou uma palavra mais longa e considere seu prefixo desse tamanho), ou seja, $w = a_0a_0' \dots a_{k^2}a_{k^2}'$. Presumir$w$é livre de repetição; isso significa que$a_ia_i' \neq a_ja_j'$ para todos $i \neq j$(caso contrário, tivemos uma repetição). Portanto, existem$k^2 + 1$muitos pares de símbolos; isso contradiz$|\Sigma^2| = k^2$. assim$w$ não é livre de repetição. $\square$

Observe que esta é uma prova aproximada: fatores $a_i'a_{i+1}$ pode criar uma repetição ainda mais cedo.

Notação:

• $\Sigma^{\geq k} = \bigcup_{i=k}^\infty \Sigma^i = \Sigma^* \setminus \bigcup_{i=0}^{k-1} \Sigma^i$
• "factor" = "subpalavra" = "substring"