Contando o número de somas de sub-matrizes contíguas de uma matriz

Nos é dado um array com todos . $a[1 \ldots n]$ $a[i]>0$

Agora precisamos descobrir quantas somas distintas podem ser formadas a partir de suas sub-matrizes (onde uma sub-matriz é um intervalo contíguo da matriz, ou seja, para alguns , a soma é a soma de todos os os elementos do subarray). Por exemplo, se , a resposta é 4: podemos formar . $a[j\ldots k]$ $j,k$ $a=[1,2,1]$ $1,2,3,4$

Eu sei como contar o número de somas distintas em . $O(n^2)$

Além disso, percebi que isso é semelhante ao problema clássico em que precisamos encontrar o número de substrings distintos de uma string. Eu estava pensando na possibilidade de construir uma matriz de sufixos e resolvê-la de maneira semelhante (no tempo ). Mas não consegui descobrir como modificar isso para funcionar aqui. Por exemplo, se usarmos uma matriz de sufixos para , obteremos 5 casos em vez dos quatro aceitáveis. É possível fazer isso usando matrizes de sufixo ou estou pensando na direção errada? $O(n)$ $a=[1,2,1]$

Também há mais uma direção em que estive pensando. Divida e conquiste. Como se eu dividisse a matriz em duas partes todas as vezes até que ela fosse reduzida a um único elemento. Um único elemento pode ter uma soma. Agora, se combinarmos dois elementos únicos, isso pode ser feito de duas maneiras: se os dois intervalos únicos tiverem o mesmo elemento, obteremos 2 somas diferentes, ou se ambos tiverem elementos diferentes, obteremos 3 somas diferentes. Mas não estou conseguindo generalizar isso para mesclar matrizes de comprimento maior que 1. É possível mesclar matrizes de dois m de tamanho e obter a resposta em ? $O(m)$

arrays substrings suffix-array

— Salena
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Embora eu não veja imediatamente como você pode derivar uma solução para o seu problema, a estrutura do Problema Máximo de Subarray é semelhante ao problema que você descreve e possui uma solução de dividir e conquistar que é executada em .

O (n l g n)

$O(n \ lg \ n)$

— Isaac Kleinman

Eu sugeriria começar com o seguinte problema: quão difícil é decidir se há dois intervalos com a mesma soma? É tentador provar a dureza 3SUM desse problema, mas até agora não consegui.

— Yuval Filmus

Você quase certamente não pode melhorar que na pior das hipóteses, pois o número de diferentes somas pode estar em . $O(n^2)$ $\Theta(n^2)$

Considere, por exemplo, a matriz . Aqui cada um dos $[1,2,4,8,\dotsc, 2^n]$ subarrays contíguos têm uma soma diferente. $\frac{n(n+1)}2$

O "quase certo" se deve ao fato de o problema não exigir os valores das somas como saída. No entanto, não creio que duplicatas possam ser evitadas sem determinar pelo menos a maioria dos valores.

— FrankW
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Não vejo nenhuma razão específica para que não exista uma maneira de evitar de alguma maneira revisar todas as possibilidades enquanto ainda estiver com a resposta correta. Algoritmos de programação dinâmica fazem isso rotineiramente.

— Yuval Filmus