análise de tempo de execução


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Então eu sei que log significa logaritmo iterado, então log(3) = (loglogloglog...) até n1.

Estou tentando resolver o seguinte:

é

log(22n)

pouco o, pouco ωou Θ do

log(n)2

Em termos das funções interiores, log(22n) é muito maior que log(n), mas esquadrando o log(n) está me jogando fora.

Eu sei disso log(n)2 é O(n), mas não acho que essa propriedade seja válida para o logaritmo iterativo.

Tentei aplicar o método mestre, mas estou tendo problemas com as propriedades de um log(n)função. Tentei definir n como max (ou seja,n=5), mas isso realmente não simplificou o problema.

Alguém tem alguma dica de como devo abordar isso?

Respostas:


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Lembre-se de que, para k>1, por definição, temos logk=log(logk)+1.

Aplicando a definição duas vezes, vemos que log(22n)=logn+2. Agora podemos compararlogn+2 e (logn)2.


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Vamos escrever e ver o que temos. Para rastrear o número de logs, eu os assinarei; Eu sei que isso geralmente é básico, se alguém tiver uma idéia melhor, deixe-me saber ou editá-la:

log(22n)=log1(log2(...logk(22n)...))=log1...logk1(2nlogk(2))=log1...logk2(logk1(2n)+logk1logk(2)))=log1...logk2(nlogk1(2)+logk1logk(2)))log1...logk2(nlogk1(2))=log1...logk2(n+logk1(2))log1...logk2(n)
Desde que estamos procurando grandes n, Abandonei os termos aditivos log(log(2))0.3665 e log(2)0.693.

Isso mostra que se log(22n)=k, então log(n)k2ou combiná-los,

log(22n)log(n)+2

O grande-Θs são idênticos e, como apontado nos comentários, se a base do logaritmo e a potência forem iguais, as equações serão identicamente iguais.


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Por definição logn=log(log(n))+1, então seu resultado é imediato. Além disso,log(22n) e log(n)+2são exatamente iguais, não apenas aproximadamente.
Zach Langley

Em big-theta, com certeza. Mas existe uma prova disso para números menores e todas as bases?
18712 Kevin

Além disso log(log(22n)) é log(2nlog(2)), Não "exatamente igual", como você diz, exceto na base 2.
Kevin

Ponto tomado; Eu estava assumindo toras foram base 2.
Zach Langley

Eu entendo, como eu era um estudante de física eu geralmente assumo base esalvo indicação em contrário. (CS também, mas Física vem em primeiro lugar, tanto quanto os logs ir.)
Kevin
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