Separação exponencial entre NFAs e DFAs na presença de sindicatos

Recentemente, uma pergunta interessante foi feita e, posteriormente, excluída.

Para um idioma comum , sua complexidade do DFA é o tamanho do DFA mínimo que o aceita e sua complexidade de NFA é o tamanho do NFA mínimo que o aceita. É sabido que existe uma separação exponencial entre as duas complexidades, pelo menos quando o tamanho do alfabeto é ilimitado. De fato, considere o idioma sobre o alfabeto consiste em todas as palavras que não contêm todos os símbolos. Usando o teorema de Myhill-Nerode, é fácil calcular a complexidade do DFA . Por outro lado, a complexidade da NFA é apenas (se vários estados iniciais são permitidos; caso contrário, é ). $L$ $L_n$ $\{1,\ldots,n\}$ $2^n$ $n$ $n+1$

A questão suprimido em causa o DFA cobrindo complexidade de uma linguagem, que é o mínimo tal que pode ser escrita como a união (não necessariamente disjuntos) de idiomas de complexidade DFA no máximo . O DFA que cobre a complexidade de é apenas . $C$ $L$ $C$ $L_n$ $2$

Existe uma separação exponencial entre a complexidade do NFA e o DFA que cobre a complexidade?

regular-languages finite-automata

— Yuval Filmus
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Considere o idioma , onde é um novo símbolo. A complexidade NFA de é . Mostraremos que sua complexidade de cobertura do DFA é . $M_n = \epsilon +(L_n \#)^*L_n$ $\#$ $M_n$ $n$ $2^n$

Seja $A$ um DFA que aceite algum idioma $L(A) \subseteq M_n$ , com a função de transição $q_A$ . Chame um estado $s$ viável se houver alguma palavra $w$ tal que $q_A(s,w)$ é um estado de aceitação. Para quaisquer dois estados de não falha $s,t$ , deixe

A s, t = {w \in (1 + \dots + n) * : q A (s, w) = t} .

$A_{s,t} = \{ w \in (1+\cdots+n)^* : q_A(s,w) = t \}.$ Não é difícil verificar se todas as palavras

w∈L(A) $w \in L(A)$ podem ser escritas como

w=w1#⋯#wl $w = w_1\# \cdots \#w_l$ que

wi∈Asi,ti $w_i \in A_{s_i,t_i}$ para algumas

viáveis

si,ti $s_i,t_i$ .

Suponha que , onde cada é um DFA. Seja a estrutura gerada por todos os idiomas . Podemos ver como uma linguagem sobre , o espaço entre quaisquer dois símbolos correspondentes a . Sob esse ponto de vista, corresponde a . $M_n = \bigcup_{i=1}^N L(A^i)$ $A^i$ $P$ $A^i_{s,t}$ $L(A^i)$ $L_P(A^i)$ $P^*$ $\#$ $M_n$ $P^*$

Chame universal se, para alguns , for o caso de todo existir modo que . Afirmamos que alguns são universais. Caso contrário, cada contém no máximo palavras de comprimento . No total, o deve conter todas as palavras de comprimento , portanto , que é violado por suficientemente grande . $L_P(A^i)$ $x \in P^*$ $y \in P$ $z \in P^*$ $xyz \in L_P(A^i)$ $L_P(A^i)$ $L_P(A^i)$ $(|P|-1)^l$ $l$ $L_P(A^i)$ $|P|^l$ $l$ $|P|^l \leq N (|P|-1)^l$ $l$

Suponha que seja universal e escreva por questões de brevidade. Seja o prefixo correspondente e seja uma palavra correspondente a ele. Assim, para cada existe algum tal que . $L_P(A^i)$ $A = A^i$ $x' \in P^*$ $x \in M_n$ $y \in L_n$ $z_y \in M_n$ $x\#y\#z_y \in L(A_i)$

Para um subconjunto , deixe consistir nas letras em escritas em ordem. Afirmamos que as palavras são inequivalent para a relação Myhill-Nerode de . De fato, suponha e encontre algum (sem perda de generalidade). Então enquanto . Portanto, deve ter pelo menos estados. $S \subseteq \{1,\ldots,n\}$ $y_S$ $S$ $x\#y_S$ $A$ $S \neq T$ $a \in S \setminus T$ $x\#y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a} \# z_{y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a}} \in L(A)$ $x\#y_S y_{\{1,\ldots,n\} - a} \# z_{y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a}} \notin M_n$ $A$ $2^n$

— Yuval Filmus
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