MST: complexidade do algoritmo de Prim, por que não

De acordo com o CLRS, os algoritmos do Prim são implementados como abaixo -

$\mathtt{\text{MST-PRIM}}(G,w,r)$

• para cada $u \in V[G]$ Faz
  
  • $\mathtt{\text{key}}[u] \leftarrow \infty$
  • $\pi[u] \leftarrow \mathtt{\text{NIL}}$
• $\mathtt{\text{key}}[r] \leftarrow 0$
• $Q \leftarrow V[G]$
• enquanto $Q \ne \emptyset$ Faz // ... $O(V)$
  • $u$ $\leftarrow$ $\mathtt{\text{EXTRACT-MIN}}(u)$ // ... $O(\lg V)$
    
    • para cada $v \in \mathtt{\text{adj}}[u]$ Faz // ... $O(E)$
      
      • E se $v \in Q$ e $w(u,v) \gt \mathtt{\text{key}}[v]$
        • então $\pi[v] \leftarrow u$
          • $\mathtt{\text{key}} \leftarrow w(u,v)$ // $\mathtt{\text{DECREASE-KEY}}$ ... $O(\lg V)$

O livro diz que a complexidade total é $O(V \lg V + E \lg V) \approx O(E \lg V)$. No entanto, o que entendi é que o forloop interno com a DECREASE-KEYoperação custará$O(E \lg V)$, e o whileloop externo inclui EXTRACT-MINo forloop interno e o interno , portanto, a complexidade total deve ser$O(V (\lg V + E \lg V)) = O(V \lg V + EV \lg V) \approx O(EV \lg V)$.

Por que a análise de complexidade não é realizada como tal? e O que há de errado com minha formulação?

A complexidade é derivada da seguinte maneira. Os custos da fase de inicialização$O(V)$. o$while$ loop é executado $\left| V \right|$vezes. o$for$ loop aninhado dentro do $while$ loop é executado $degree(u)$vezes. Finalmente, o lema do aperto de mão implica que existem$\Theta(E)$implícitas DECREASE-KEY's. Portanto, a complexidade é:$\Theta(V)* T_{EXTRACT-MIN} + \Theta(E) * T_{DECREASE-KEY}$.

A complexidade real depende da estrutura de dados realmente usada no algoritmo. Usando uma matriz,$T_{EXTRACT-MIN} = O(V), T_{DECREASE-KEY} = O(1)$complexidade é $O(V^2)$ no pior dos casos.

Usando uma pilha binária, $T_{EXTRACT-MIN} = O(\log V), T_{DECREASE-KEY} = O(\log V)$complexidade é $O(E \log V)$no pior dos casos. Aqui está o porquê: como o gráfico está conectado, então$\left| E \right| \ge \left| V \right| - 1$e $E$ é no máximo $V^2$(na pior das hipóteses, para um gráfico denso). Provavelmente, você perdeu esse ponto.

Usando uma pilha de Fibonacci, $T_{EXTRACT-MIN} = O(\log V)$ amortizado, $T_{DECREASE-KEY} = O(1)$ amortizado, a complexidade é $O(E + V \log V)$ no pior dos casos.

Sua ideia parece correta. Vamos considerar a complexidade como $V(\lg v + E\lg v)$. Então observe que no loop for interno, estamos passando por todos os vértices, e não pelas arestas, então vamos modificar um pouco para $V(\lg v + V\lg v)$, que significa $V\lg v + V^2\lg v$. Mas, para a análise do pior caso (gráficos densos),$V^2$ é aproximadamente igual ao número de arestas, $E$dando $V\lg v + E\lg v = (V+E)\lg v$ mas desde $V \ll E$, conseqüentemente $E\lg v$.