Encontrar fatoração máxima de idiomas regulares

Vamos linguagem $\mathcal{L} \subseteq \Sigma^*$ ser regular.

Uma fatoração de $\mathcal{L}$ é um par máximo $(X,Y)$ de conjuntos de palavras com

$X \cdot Y \subseteq \mathcal{L}$
$X \neq \emptyset \neq Y$ ,

onde $X \cdot Y = \{xy$ | $x \in X, y \in Y\}$ .

$(X,Y)$ $(X',Y') \neq (X,Y)$ $X'\cdot Y' \subseteq \mathcal{L}$ $X \not \subseteq X'$ $Y \not \subseteq Y'$

Existe um procedimento simples para descobrir quais pares são máximos?

Exemplo:

Seja . O conjunto é calculado: $\mathcal{L} = \Sigma^∗ab \Sigma^∗$ $F = \{u, v, w\}$

$u =(\Sigma^∗, \Sigma^∗ab\Sigma^∗)$
$v = (\Sigma^∗a\Sigma^∗, \Sigma^∗b\Sigma^∗)$
$w = (\Sigma^∗ab\Sigma^∗, \Sigma^∗)$

onde . $\Sigma = \{a,b\}$

Outro exemplo:

$\Sigma = \{a, b\}$ e Conjunto de fatoração com $\mathcal{L} = \Sigma^*a\Sigma$ $F = \{q, r, s, t\}$

$q = (\Sigma^*, \mathcal{L})$
$r = (\Sigma^*a, \Sigma + \mathcal{L})$
$s = (\Sigma^*aa, \epsilon + \Sigma + \mathcal{L})$
$t = (\mathcal{L}, \epsilon + \mathcal{L})$

algorithms regular-languages optimization

— Laura
fonte

Eu recomendo a leitura do seguinte artigo (especialmente a subseção 4.1) de Jacques Sakarovitch: perso.telecom-paristech.fr/~jsaka/PUB/Files/TUA.pdf

— Cornelius Brand

Gostaria de saber se você pode ser mais específico sobre o problema, ou seja, a última frase da sua pergunta? Recebemos e queremos testar se é máximo? Nossa tarefa é enumerar todos que são máximos? Neste último caso, fica claro que essa lista é de tamanho finito ou polinomial? Provavelmente não faz sentido solicitar um algoritmo para enumerar todas as possibilidades se houver exponencialmente muitas delas. Além disso, você deseja especificar como o idioma

X, Y

$X,Y$

(X, Y)

$(X,Y)$

(X, Y)

$(X,Y)$

L

${\cal L}$ é representado quando nos é apresentado e como

X, Y

$X,Y$ são representados? (por exemplo, DFA, NFA, regexp)

— DW

Eu não entendo seus exemplos. São

suposto ser todos os pares máximas?

parece não ser válido ...

u, v, w

$u,v,w$

v

$v$

— Raphael

O exemplo é retirado do artigo mencionado acima.

deveriam ser pares máximos. Eu também não entendo como

é calculado, uma vez que parece não ser necessariamente em

. Vou postar outro exemplo.

u, v, w

$u,v,w$

v

$v$

L

$\mathcal{L}$

— Laura

@ Rafael, parece-me que

é válido. Deixando

é um fatoração, desde que

(considerar qualquer cadeia que contém um

, então qualquer sequência de

's e / ou

, então eventualmente a

: essa string deve ter algum ponto onde o primeiro

aparece, de modo que é um ponto em que contém

v

$v$

X = Σ^{*} a Σ^{*}

$X=\Sigma^* a \Sigma^*$

Y = Σ^{*} b Σ^{*}

$Y=\Sigma^* b \Sigma^*$

(X, Y)

$(X,Y)$

X \cdot Y = L

$X \cdot Y = {\cal L}$

a

$a$

a

$a$

b

$b$

b

$b$

b

$b$

) Eu não tenho uma prova de que é máxima, mas não consigo encontrar qualquer maior conjuntos

que são uma fatoração de

a b

$ab$

X^{'}, Y^{'}

$X',Y'$

L

${\cal L}$

— DW

Conforme sugerido nos comentários da pergunta, tentarei dar uma resposta (infelizmente parcial) à pergunta, pelo menos na medida em que eu mesmo entendi o problema (isso implica que você poderá encontrar erros e se encontrar Para explicar de maneira mais rápida ou clara um dos pontos abaixo, fique à vontade para editar a resposta de acordo):

Primeiro, deve-se notar que, na verdade, não precisamos calcular o autômato universal de uma linguagem se queremos calcular as fatorações de uma linguagem.

A partir do papel mencionado no meu comentário ¹, há uma correspondência 1-1 entre fatores esquerdo e direito de uma linguagem regular, isto é, dado um fator esquerdo da língua, o fator de direito correspondente é determinado e vice-versa exclusivamente. Mais precisamente, nós temos o seguidor:

Deixe que ser um fatoração de . Então ou seja, qualquer fator esquerdo é uma interseção dos quocientes direitos e qualquer fator direito é uma interseção dos quocientes esquerdos. Por outro lado, qualquer intersecção de quocientes esquerda de é um fator direito de , e qualquer intersecção de quocientes direito de é um fator esquerda de . $(X,Y)$ $L$

Y = ⋂_{x \in X} x^{- 1} L, X = ⋂_{y \in Y} L y^{- 1},

$Y = \bigcap_{x \in X}x^{-1}L, X = \bigcap_{y \in Y}Ly^{-1},$

L

$L$

L

$L$

L

$L$

L

$L$

Observe que, para um idioma comum, existe apenas um conjunto finito de quocientes esquerdo e direito e, portanto, o problema se reduz ao cálculo dos quocientes esquerdo e direito de um idioma e, em seguida, calcula seu fechamento -estável, ou seja, um mínimo superconjunto dos quocientes que são fechados sob interseção. Estes são, então, precisamente os fatores direita e fatores de esquerda, e, em seguida, geralmente é fácil ver quais pares são subconjuntos de . $\cap$ $L$

Exemplo

Para ilustrar os pontos acima, considere o primeiro exemplo da pergunta (do qual também acho incorreto no artigo):

Vamos . Agora, os quocientes esquerda de são os conjuntos para , isto é, aquelas palavras em que podem ser prefixados com , ou seja, . Quando para distinto ? Este é o caso se e somente se $L = \Sigma^\ast ab \Sigma^\ast$ $L$ $x^{-1}L$ $x\in \Sigma^\ast$ $u$ $\Sigma^\ast$ $x$ $xu \in L$ $y^{-1}L=x^{-1}L$ $x,y$ $x$ e pode ser aumentado para palavras em com exatamente os mesmos sufixos. Isso significa que, para colocá-lo em termos mais familiares, eles são equivalentes ao Nerode e os sufixos necessários para anexar às palavras em uma classe Nerode são precisamente os respectivos quocientes à esquerda. $y$ $L$

Para , vemos que nossas classes de equivalência Nerode são $L$

, o conjunto de palavras que não contêm como fator e terminam em , $N_1$ $ab$ $a$
, o conjunto de palavras que termina com não contém como fator e $N_2$ $b$ $ab$
, o conjunto de palavras que contêm como fator, ou seja, $N_3$ $ab$ $N_3 = L$

Eles podem ser aumentados com os seguintes conjuntos (ou seja, esses são os quocientes à esquerda das palavras nas respectivas classes):

para em consiste em todas as palavras em (qualquer palavra pode ser aumentada com uma palavra que contenha como fator e assim se torne uma palavra em ) e , que é $S_1 = x^{-1}L$ $x$ $N_1$ $L$ $ab$ $L$ $b\Sigma^\ast$ $S_1 = L \cup b\Sigma^\ast$
para em é a própria linguagem, isto é, e $S_2 = x^{-1}L$ $x$ $N_2$ $S_2 = L$
para em é obviamente . Isto é, nós encontramos três fatores direita de . Como , a sua fecho -stable é trivialmente , e aqueles que são, em seguida, precisamente os factores direita. $S_3 = x^{-1}L$ $x$ $N_3$ $\Sigma^\ast$ $L$ $S_2\subset S_1\subset S_3$ $\cap$ ${S_1,S_2,S_3}$

Portanto, nosso conjunto de fatoração é da forma . $\mathcal{F}_L$ $(P_1,S_1),(P_2,S_2),(P_3,S_3)$

Agora, para os fatores esquerdos , usamos as equações do início desta resposta: $P_i$

P_{i} = ⋂_{x \in S_{i}} L x^{- 1}

$P_i = \bigcap_{x\in S_i} Lx^{-1}$

Para , este rendimentos , para obtemos e para , obtém-se . Você pode ver isso inspecionando (a desculpa mais popular por ser muito preguiçoso para apresentar uma prova formal) ou calculando explicitamente os quocientes certos (o que é bastante análogo, embora não completamente, ao cálculo dos quocientes esquerdos). Nossas fatorações são assim dadas por onde $P_1$ $L \cup \Sigma^\ast a$ $P_2$ $\Sigma^\ast$ $P_3$ $L$ $\mathcal{F}_L = {u,v,w}$

$u = (P_1,S_1) = (\Sigma^\ast ab \Sigma^\ast \cup \Sigma^\ast a, \Sigma^\ast ab \Sigma^\ast \cup b\Sigma^\ast)$
e $v = (P_2, S_2) = (\Sigma^\ast, \Sigma^\ast ab \Sigma^\ast)$
$w = (P_3, S_3) = (\Sigma^\ast ab \Sigma^\ast, \Sigma^\ast)$

Sumário

Para resumir (como você estava solicitando um procedimento simples):

Para computar os fatorações de uma linguagem , em primeiro lugar calcular os quocientes esquerda de . $L$ $L$
Você pode fazer isso, no idioma do artigo, construindo um DFA mínimo para e, em seguida, para cada estado em (correspondente, como uma classe de equivalência de Nerode, a um quociente esquerdo), calcule o futuro de em , obtendo assim um quociente esquerdo do idioma para cada estado. $A$ $L$ $q$ $A$ $q$ $A$
A recolha de quocientes deixadas obtidos deste modo os rendimentos, em geral, um subconjunto dos factores direita. $S_R$
Computação, em seguida, o fecho -stable de , que pode ser feito na prática pela formação da intersecção de qualquer subconjunto de e adicionando qualquer subconjunto obtido desta maneira para . $\cap$ $S_R$ $S_R$ $S_R$
O conjunto em conjunto com todas as intersecções da etapa anterior é, em seguida, o conjunto de factores de certas . $S_R$ $L$
A fim de obter os fatores de esquerda, podemos calcular os quocientes direito de . $L$
Estes são os conjuntos de forma , para . Agora, estes são novamente apenas finitamente muitos, e para , temos se e somente se para todos , , são eles pode ser prefixado para palavras no idioma com exatamente o mesmo conjunto de strings. $Ly^{-1}$ $y\in \Sigma^\ast$ $x\neq y$ $Ly^{-1} = Lx^{-1}$ $u\in \Sigma^\ast$ $ux \in L \Leftrightarrow uy \in L$
Para calcular , considere os estados em modo que esteja contido no futuro de . A união do passado desses estados constitui um quociente correto. Encontre todos esses quocientes. $Lx^{-1}$ $q$ $A$ $x$ $q$
Você sabe que terminou quando encontrou tantos fatores à esquerda quanto os fatores certos.
Encontrar os pares de factores direita para a esquerda e de tal modo que . Este é . $X,Y$ $X\cdot Y \subseteq L$ $\mathcal{F}_L$

O Autômato Universal de Lombardia e Sakarovitch (em Textos em Lógica e Jogos, Vol. 2: Lógica e Automata: História e Perspectivas , 2007)

— Cornelius Brand
fonte

A \subseteq B

$A \subseteq B$

X

$X$

Y

$Y$