Resultados nos idiomas reconhecidos pelos DFAs não direcionados

Para minha tese de bacharelado, considero a classe de idiomas reconhecida pelos DFAs simétricos, ou seja, autômatos finitos determinísticos (completos) que atendem à seguinte condição:

Seja um DFA completo sobre o alfabeto . Se, para cada e cada transição em , há uma transição em , chamamos uma simétrica DFA ( SDFA ). Se não estiver completo, chamamos de SDFA parcial . Podemos considerar um SDFA como um gráfico rotulado e não direcionado de maneira natural.$A$$\Sigma$$a\in \Sigma$$u \stackrel{a}{\longrightarrow}v$$A$$v \stackrel{a}{\longrightarrow}u$$A$$A$$A$

Eu pude encontrar uma caracterização algébrica da classe de idiomas reconhecida por SDFAs (completos e parciais) e deduzir algumas propriedades de fechamento. No entanto, nem eu nem meu supervisor estamos cientes dos resultados anteriores referentes a essa classe específica de linguagens regulares (excluindo resultados como Reingold, que podem parecer relacionados).$\mathsf{SL = L}$

Motivado por um comentário que J.-E. O PIN passou uma pergunta relacionada que eu fiz , minha pergunta agora é:

Existem resultados sobre esses autômatos?

Só posso dar uma resposta parcial. Seja a classe de todos os idiomas regulares reconhecidos por um SDFA completo. Então é uma subclasse da classe dos idiomas do grupo. Uma linguagem de grupo é uma linguagem cujo monóide sintático é um grupo finito, ou equivalente, reconhecido por um autômato de permutação finita (cada letra induz uma permutação no conjunto de estados). A inclusão é rigorosa. No entanto, o seguinte resultado é válido, mostrando que é um tipo de gerador para :$\mathcal{S}$$\mathcal{S}$$\mathcal{G}$$\mathcal{S} \subset \mathcal{G}$$\mathcal{S}$$\mathcal{G}$

Para cada idioma do grupo , existe um alfabeto , um morfismo monóide e um idioma em modo que .$L \subseteq A^*$$B$$f: A^* \to B^*$$K \subseteq B^*$$\mathcal{S}$$L = f^{-1}(K)$

Prova . Vamos ser um autómato permutação reconhecendo . É um fato bem conhecido que o grupo de todas as permutações em é gerado pelo conjunto de suas transposições (uma transposição permite dois estados e corrige todos os outros estados). Por construção, o autômato é um SDFA e, portanto, reconhece um idioma de . Agora, para cada letra , existe uma palavra que define em a mesma permutação que$\mathcal{A} = (\{1, ..., n\}, A, \cdot, 1, F)$$L$$\{1, ..., n\}$$B$$\mathcal{B} = (\{1, ..., n\}, B, \cdot, 1, F)$$K$$\mathcal{S}$$a \in A$$u_a \in B^*$$\mathcal{B}$$a$ em . Deixe- ser o morfismo definida por para cada carta . Agora deve estar claro que .$\mathcal{A}$$f: A^* \to B^*$$f(a) = u_a$$a \in A$$f^{-1}(K) = L$

A classe dos idiomas reconhecidos por um SDFA parcial é obviamente maior que , mas não esgota a classe de todos os idiomas regulares. Na verdade, pode-se mostrar que se está em , o monóide sintático de é um monóide inverso e, em particular, seus idempotentes se deslocam. Essa última propriedade é compartilhada pela classe um pouco maior de autômatos reversíveis . Vejo$\mathcal{PS}$$\mathcal{S}$$L$$\mathcal{PS}$$L$

J.-É. Pin, nos idiomas aceitos pelos autômatos reversíveis finitos , na 14ª ICALP, Berlim, (1987), 237-249, LNCS 267 , Springer Verlag