Complexidade de decidir se uma fórmula tem exatamente 1 tarefa satisfatória

O problema de decisão

Dada uma fórmula booleana , tem exatamente uma tarefa satisfatória?$\phi$$\phi$

pode ser visto em , -hard e -hard. Existe algo mais conhecido sobre sua complexidade?U P c o N $\Delta_2$$\mathsf{UP}$$\mathsf{coNP}$

Seu problema é conhecido como que é completo. O problema está em mas não se sabe que é em reduções de tempo polinomiais determinísticas, em que a classe .L S D p D P D P = { L 1 ∩ ¯ L 2 | G 1 , G 2 ∈ N P$\text{UNIQUE-SAT}$$\mathsf{US}$$\mathsf{D^p}$$\mathsf{D^p}$$\mathsf{D^p} = \{ L_1 \cap \overline{L_2} \mid L_1,L_2 \in \mathsf{NP} \}$

Papadimitriou e Yannakis [1] demonstraram que o conjunto de fórmulas exclusivamente satisfatórias está contido em . Isto segue a definição de : seja SAT e seja o conjunto de fórmulas com ou mais atribuições satisfatórias. Em relação à dureza de de , Blass e Gurevich [2] deram uma resposta parcial. Por um lado, eles mostraram que uma técnica de prova não relativizante seria necessária para resolver a questão. Entretanto, Valiant e Vazirani [3] reduziram aleatoriamente o tempo polinomial de mostrando dureza deD p L 1 L 2 2 D p UNIQUE-SATSAT D p$\mathsf{D^p}$$\mathsf{D^p}$$L_1$$L_2$$2$$\mathsf{D^p}$$\text{UNIQUE-SAT}$$\text{SAT}$$\mathsf{D^p}$$\text{UNIQUE-SAT}$ sob reduções de tempo polinomiais aleatórias.

Quando se sabe que o problema tem no máximo uma tarefa ou nenhuma tarefa, o problema da promessa é chamado . O teorema de Valiant – Vazirani afirma que, se houver um algoritmo de tempo polinomial para , então . Para provar seu teorema, eles mostraram que o problema da promessa é -hard sob reduções de tempo polinomiais aleatórias. Um corolário que se segue do teorema de Valiant – Vazirani é que está completo para sob reduções de tempo polinomiais aleatórias.$\text{UNAMBIGUOUS-SAT}$$\text{UNAMBIGUOUS-SAT}$$\mathsf{NP}=\mathsf{RP}$$\text{UNAMBIGUOUS-SAT}$$\mathsf{NP}$$\text{UNIQUE-SAT}$$\mathsf{D^p}$

[1] Papadimitriou, Christos H. e Mihalis Yannakakis. "A complexidade das facetas (e algumas facetas da complexidade)." Anais do décimo quarto simpósio anual da ACM sobre Teoria da Computação. ACM, 1982.

[2] Blass, Andreas e Yuri Gurevich. "Sobre o único problema de satisfação." Information and Control 55.1 (1982): 80-88.

[3] Valiant, Leslie G. e Vijay V. Vazirani. "O NP é tão fácil quanto detectar soluções exclusivas". Teórico Computer Science 47 (1986): 85-93.