Prova do teorema de Ramsey: o número de cliques ou anticliques em um gráfico

O teorema de Ramsey afirma que todo gráfico com nós contém um clique ou um conjunto independente com pelo menos nós. $n$ $\frac{1}{2}\log_2 n$

Tentei procurar em alguns lugares (incluindo o Sipser), mas não consegui entender muito bem as provas. Eu apreciaria se alguém pudesse me dar uma prova (ou uma intuição clara) sobre isso.

— Subhayan
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Alguém sabe como CONSTRUIR a prova? Quero dizer, certamente ele teve alguma idéia que levou a essa afirmação, então alguém pode me dizer como construí-la (e não provar com indução?). Acho que deve ser algo simples .. algo elegante!

— precisa saber é o seguinte

Seja o menor número inteiro modo que todo gráfico em ou mais vértices contenha um $R(s,t)$ $k$ $k$ $s$ -clique ou conjunto independente de tamanho $t.$

Acontece que esse número está bem definido (chamado número de Ramsey ) e a afirmação em sua pergunta apenas significa dizer que

R (t, t) \leq 2^{2 t} .

$R(t,t) \leq 2^{2t}.$

Um limite superior bem conhecido para o número de Ramsey indica se , o valor acima se reduz ao coeficiente binomial central que é sempre menor que

R (s, t) \leq R (s, t - 1 1) + R (s - 1 1, t) \leq (\binom{s + t - 2}{t - 1 1}) (1 1)

$R(s,t) \leq R(s,t-1)+R(s-1,t) \leq {s+t-2 \choose t-1} \; \; \; (1)$

s = t

$s = t$

(\binom{2 t - 2}{t - 1})

${2t-2 \choose t-1}$

2^{2 t}

$2^{2t}$

Para provar pode-se usar indução em . Partindo da base de indução como um exercício para você, vamos supor que a desigualdade vale para todos e seja um gráfico com vértices. $(1)$ $s+t$ $R(1,t), R(s,1)$ $s+t < k$ $G$ $R(s,t-1)+R(s-1,t)$

Seja um vértice arbitrário de e divida os vértices restantes do gráfico em dois grupos - aqueles adjacentes a aqueles que não são adjacentes a Agora desde que , temosAgora, se a primeira desigualdade for satisfeita, o gráfico induzido por contém uma classe ou o gráfico induzido por contém um conjunto independente de tamanhoEm particular, isso implica que, neste caso, contém um $v$ $G$ $A,N$ $v$ $v.$

| A | + | N | + 1 1 = R (s, t - 1 1) + R (s - 1 1, t)

$|A|+|N|+1 = R(s,t-1)+R(s-1,t)$

| N | \geq R (s, t - 1 1) ou | UMA | \geq R (s - 1 1, t) .

$|N| \geq R(s,t-1) \quad \mbox{ or} \quad |A| \geq R(s-1,t).$

N

$N$

s

$s$

N \cup {v}

$N \cup \{v\}$

t .

$t.$

G

$G$

s

$s$ -clique ou conjunto independente de tamanhoO segundo caso é verificado analogamente e estabelece a primeira parte do limite declarado. Para a última parte, observe que

t .

$t.$

(\binom{s + t - 3}{s - 1 1}) + (\binom{s + t - 3}{s - 2}) = (\binom{s + t - 2}{s - 1 1}) .

${s+t-3 \choose s-1} + {s+t-3 \choose s-2} = {s+t-2 \choose s-1}.$

— Jernej
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Não tenho certeza. Desde segue-se que

| A | < 2^{2 (t - 1)}

$|A| < 2^{2(t-1)}$

| A | + 1 \leq 2^{2 (t - 1)}

$|A|+1 \leq 2^{2(t-1)}$

— Jernej

Você está certo, o passo está errado! De alguma forma eu tinha certeza que era possível comprovar o resultado só fazendo uso dos números de Ramsey diagonais, mas eu não vejo como corrigi-lo dessa forma ..

— Jernej

@ AndrásSalamon Sinalize esses comentários como obsoletos quando concordar que está tudo bem agora.

— Raphael