Amostragem aleatória em um polígono

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Gostaria de provar um ponto uniformemente aleatório em um polígono ...

Se provar um número grande, eles provavelmente cairão em duas regiões se tiverem a mesma área.

Isso seria bem simples se fosse um quadrado, pois eu usaria dois números aleatórios em [0,1] como minhas coordenadas.

A forma que tenho é um polígono regular, mas eu gostaria que funcionasse para qualquer polígono.

/programming/3058150/how-to-find-a-random-point-in-a-quadrangle

— john mangual
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Triangular o polígono
Determine em qual dos triângulos o ponto deve estar (pesa áreas do triângulo)
Faça uma amostra do ponto no triângulo, conforme explicado nesta postagem

— A.Schulz
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Esta pergunta não é uma duplicata da pergunta mais antiga que você vincula?

— Raphael

@ Rafael: Relacionado, mas mais geral, eu diria.

— A.Schulz

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Uma maneira fácil é encontrar a caixa delimitadora para o seu polígono e uso rejeição de amostragem: amostra da caixa delimitadora e aceito se ele cai dentro do polígono, o que vai acontecer com probabilidade , pelo menos, (eu acho). $1/2$

Outra possibilidade é triangular seu polígono. Primeiro experimente um triângulo de maneira proporcional e, em seguida, experimente um ponto aleatório no triângulo. O último é simples: até transformações afins, todos os triângulos têm a forma . Para amostrar uniformemente um ponto dessa distribuição, primeira amostra acordo com a densidade (isto é, amostra um uniforme $\{(x,y) : x,y \geq 0, x+y \leq 1\}$ $x \in [0,1]$ $2(1-x)$ e calcule $r \in [0,1]$ ) e depois amostraruniformemente (ou seja, provar auniformee calcular). Um método ainda mais simples é a amostra, e sesubstitua $x = 1-\sqrt{1-r}$ $y \in [0,1-x]$ $s \in [0,1]$ $y = (1-x)s$ $x,y \in [0,1]$ $x+y > 1$ $(x,y)$ com . $(1-x,1-y)$

— Yuval Filmus
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A amostragem de rejeição rejeitará com probabilidade no máximo 1/2 em 2 dimensões, mas em dimensões mais altas a probabilidade de rejeição pode ser muito pior.

— DW

A amostragem de rejeição pode ter uma taxa de rejeição maior que 1/2. Basta pensar em uma espiral, levemente extrudada.

— precisa saber é o seguinte

E se for garantido que o polígono é convexo?

— Yuval Filmus

Se suas caixas delimitadoras estiverem alinhadas ao eixo, a convexidade não ajudará; como sugerem as respostas da pergunta anterior, considere apenas um triângulo com vértices em (0, 1), (1, 0) e (x, x) para x muito grande - isso ocupará uma proporção muito pequena da sua caixa delimitadora como x vai para o infinito. Se você está falando de menor caixa delimitadora do possível, então você pode provavelmente limites retirarem o volume a sua forma convexa ocupa, mas então você tem que encontrar a caixa ...

— Steven Stadnicki

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Isso é um pouco louco, mas deve funcionar bem, mesmo que seu polígono seja muito estranho.

Use o Teorema de Reimann para encontrar uma projecção conforme partir do disco de unidade para seu polígono, vendo-o como um subconjunto de . Veja, por exemplo, as referências em: $\mathbb{C}$

http://siam.org/pdf/news/1297.pdf

Em seguida, use o pushforward de uma densidade uniforme no disco como a densidade proposta na amostragem Metropolis-Hastings MCMC .

— Nick Alger
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Os mapas conformes não são necessariamente de preservação de área; eles preservam o ângulo , mas é quase garantido que não seja possível amostrar o polígono uniformemente.

— Steven Stadnicki

Daí a necessidade de usá-lo como uma proposta no MCMC, não como um amostrador real. Com a desigualdade de Poincaré, é possível mostrar que a variação de um mapa conforme do uniforme é limitada por uma constante.

— Nick Alger

a P (x) < f (x) < b P (x)

$aP(x)\lt f(x)\lt bP(x)$

a

$a$

b

$b$

f (x) = c P (x) \forall x

$f(x) = cP(x) \forall x$

— Steven Stadnicki

O ponto principal do Metropolis Hastings MCMC é que a proposta não é a verdadeira distribuição. A velocidade de convergência da cadeia MCMC depende de quão bem a proposta se aproxima da verdadeira distribuição. A proposta mais comum é colocar um Gaussian no ponto atual, independentemente da distribuição que você está tentando amostra ...

— Nick Alger