Encontre todos os intervalos que se sobrepõem a um determinado intervalo

Nota: movi esta pergunta de stackoverflow.com

Eu tenho um problema algorítmico no qual gostaria de ver se ele pode ser resolvido melhor do que $O(n)$ :

Eu dei uma mesa $T$ do $n$ elementos em que cada elemento é uma tupla $(s_i, e_i)$ com e , ou seja, cada tupla é uma espécie de intervalo. Eu tenho que encontrar todos os intervalos que se sobrepõem a um determinado intervalo com e . Além disso, tenho duas disponíveis classificados listas e , que contém as valores, ou valores, respectivamente, em conjunto com o índice apontando para a respectiva entrada em . As listas são classificadas pelos valores de ou valores de respectivamente. (Vamos assumir que, e $s_i, e_i \in \mathbb{N}$ $s_i < e_i$ $[t_0, t_1]$ $t_0, t_1 \in \mathbb{N}$ $t_0 < t_1$ $S$ $E$ $s$ $e$ $i$ $T$ $s$ $e$ $s$ $e$ valores, são únicos.)

Problema:

Temos que encontrar cada intervalo / tupla onde e . $(s_i, e_i) \in T$ $s_i \leqslant t_1$ $e_i \geqslant t_0$

Meus pensamentos até agora:

Podemos excluir alguns elementos por qualquer aplicação de um dos limites do intervalo, ou seja, busca em ou em . Isso nos dá uma lista de elementos restantes: No entanto , não há limite inferior para o número de elementos em , independentemente da pesquisa que realizamos. Além disso, temos que verificar todos os elementos em se ou respectivamente, dependendo da pesquisa que fizemos anteriormente. $t_1$ $S$ $t_0$ $E$ $L$

L \leftarrow {e \in E ∣ e ⩾ t_{0}} or L \leftarrow {s \in S ∣ s ⩽ t_{1}}

$L \leftarrow \{e \in E \mid e \geqslant t_0\} \text{ or } L \leftarrow \{s \in S \mid s \leqslant t_1\}$

L

$L$

L

$L$

s ⩽ t_{1}

$s \leqslant t_1$

e ⩾ t_{0}

$e \geqslant t_0$

A complexidade desta solução é . $O(n)$

No entanto, digamos que é o número máximo de elementos que se sobrepõem ao intervalo . ~~Se assumirmos~~ ~~, em seguida, a complexidade é~~ ~~, uma vez que pode excluir, pelo menos~~ ~~elementos, escolhendo a busca apropriado para~~ . ~~Ainda~~ ~~está em~~ . $k$ $[t_0, t_1]$ ~~$k \ll n$ $O(n/2)$ $n/2$ $L$ $O(n/2)$ $O(n)$~~

Você consegue pensar em uma abordagem melhor para resolver esse problema?

Para gravar:

A complexidade para encontrar todos os intervalos sobrepostos a um determinado intervalo usando uma árvore de intervalos é que é o número de intervalos sobrepostos. No entanto, no meu caso prático, estou usando um banco de dados MySQL que fornece árvores de índice para cada valor, ou seja, e , separadamente. Dessa forma, não consigo encontrar intervalos sobrepostos em menos de . Eu precisaria criar uma árvore de intervalo, que é uma árvore de pesquisa que armazena os dois limites de intervalo, ou seja, e , em uma única estrutura de dados. A complexidade para construir a árvore do intervalo é . [ $O(\log n + k)$ $k$ $s$ $e$ $O(n)$ $s$ $e$ $O(n \log n)$ http://www.dgp.utoronto.ca/people/JamesStewart/378notes/22intervals/]

algorithms search-algorithms

— sema
fonte

E se

k ≪ n

$k \ll n$ , Acho que existe um pré-cálculo de

O (n k)

$O(nk)$ espaço, resultando em

O (k^{2} + \log n)

$O(k^2+\log n)$ pesquisas de tempo. Eu me pergunto se está tudo bem.

— usar o seguinte código

Acredito que as árvores de intervalo oferecem uma solução para o seu problema. Basicamente, você armazena seus intervalos na estrutura de dados da árvore de intervalos; então, para encontrar todos os intervalos que se sobrepõem $[t_0,t_1]$ , você faz uma consulta na árvore do intervalo. Isso deve resolver seu problema e executar mais rapidamente do que $O(n)$ Tempo.

— DW
fonte

Obrigado pela referência. No entanto, para o problema inicial, acho que não há solução melhor do que

O (n)

$O(n)$ . Somente se eu puder assumir que

k ≪ n

$k \ll n$ , podemos ser mais rápidos, no entanto, infelizmente, essa suposição não é válida no meu caso. Obrigado.

— sema 15/09/13

@ Sema, estou confuso. Se houver

k = Θ (n)

$k=\Theta(n)$ sobreposição de intervalos, é claro que você não pode fazer melhor do que

O (n)

$O(n)$ tempo e, nesse caso, é melhor verificar cada um dos intervalos do conjunto - portanto, não tenho certeza de qual é a sua pergunta ou por que está perguntando (você já tem uma prova de que ninguém pode fazer melhor que o algoritmo ingênuo). Por outro lado, se

k = o (n)

$k=o(n)$ , as árvores de intervalo se saem melhor do que apenas verificar cada intervalo possível. Em geral, o tempo de execução das árvores de intervalo é baseado no número de correspondências, portanto, o tempo de execução é próximo do melhor que se poderia esperar.

— DW

Desculpe pela confusão. Eu apenas concordo com você e resumi por mim mesmo que seria desejável encontrar um limite superior

k

$k$ de tal modo que

k ≪ n

$k \ll n$ . Com o problema geral, estamos presos a

O (n)

$O(n)$ onde não podemos fazer melhor. Obrigado pela sua resposta e pela referência às árvores de intervalo.

— sema

Você provavelmente deve incluir o tempo gasto na criação da árvore do intervalo em sua resposta.

— Raphael

@sema A notação

k ≪ n

$k \ll n$ não faz muito sentido em termos assintóticos. Você quer usar

k \in o (n)

$k \in o(n)$ .

— Raphael